2005-05-04：数字与模拟

一直都想学点复杂的东西，至少，至少一个电路图中所用的元件应该不少于 4 个吧？这个标准可能有点太低了。说实在的，我有点怀疑 C# 这家伙是不是每天只琢磨一个开关或者两个开关组成的东西？以前听说有科学家毕生研究 $1 + 1 = 2$ 的，C# 不会也是这类专家吧？

我：“这么晚才来？今天不会是佳人有约吧你？”

师：“你真是冰雪聪明啊，这都被你猜中啦！”

我：“真的啊？那起紧谈谈师母姓甚名谁？芳龄几何？生辰八字？我给你参谋参谋。”

师：“你还是省点心思吧。天我们继续用开关和电阻连接成电路，这次比较复杂，收图先。（figure0048）”

我：“终于上难度啦？看来我真得谢谢师母。”

我：“这就是你所谓的复杂？我受不了你了都。”

师：“同样是两个开关共 4 种状态，我现在要计算每种状态时 OUT 端对地的电压各是多少。你列个表。”

我：“开关拨到 $+ 5 V$ 用 1 表示，拨到 GND 用 0 表示没错吧？（figure0049）”

师：“表格没错，你填一下吧。”

我：“我想两个开关都接 GND 是最简单的一种情况，OUT 端肯定是 $0 V$ 。”

师：“你还有点小心眼儿。两个开关都接 $+ 5 V$ 呢？”

我：“都接 $+ 5 V$ 的话，那等于 $1 K$ 电阻和 $470$ 欧的并联，再和 $75$ 欧的串上，这是个最简单的混连电路而已。”

我：“并联总电阻 $(1000 \times 470) / (1000 + 470) = 320$ 欧，和 $75$ 欧串联， $75$ 欧电阻上分到 $5 \times 75 / (320 + 75) = 0.95 V$ 。”

师：“那么开关 S1 接 $+ 5 V$ ，S2 接 GND 呢？”

我：“这都是简单的混连电路而已，不过这次是 $470$ 欧和 $75$ 欧并联，然后和 $1 K$ 的串联罢了。”

我：“ $470$ 欧和 $75$ 欧并联， $(470 \times 75) / (470 + 75) = 65$ 欧，和 $1 K$ 的串联分压， $5 V \times 65 / 1065 = 0.31 V$ 。”

我：“这个题不难啊？只是算起来稍微麻烦点。你不是一贯不喜欢计算麻烦吗？”

师：“因为这个电路有实用性，所以电阻的取值都是真实的标称值，不信你可以查以前发给你的标称阻值表。”

我：“又有实用性？你给的这些所谓‘实用电路’好像都特简单，上回那个走廊灯也是。”

师：“不要把‘有用’和‘复杂’混为一谈，‘有用’的东西不一定很‘复杂’。把第三行填了。”

我：“ $1 K$ 和 $75$ 欧并联， $75000 / 1075 = 70$ 欧，再和 $470$ 欧串联， $5 V \times 70 / 540 = 0.65 V$ 。（figure0050）要找点什么规律不要？”

师：“那就找找吧。”

我：“我们是不是又要重新定义 0 和 1 的电压范围了？”

师：“就知道你找不出来，又扯到 0 和 1 上去了？”

我：“这几个电压怎么都算是 0 啊？这怎么看逻辑关系？”

师：“这里面没有逻辑关系。如果把 ‘00/01/10/11’ 看做数字 0、1、2 和 3 的话，那么这个电路的作用是把 4 个数字分别转换成 $0 V$ 到 $1 V$ 之间的 4 种不同的电压。相临数字对应的电压相差大约是 $0.3 V$ 。”

我：“你说这个‘00/01/10/11’就是‘二进制’数吧？对应十进制 0/1/2/3，这个我了解一点。”

师：“你要了解二进制数的话我以后倒是省得教了。‘二进制’数很重要。”

师：“你把 $470$ 欧的电阻换成 $510$ 欧的，那么就可以发现相临两个数字对应的电压相差 $0.3 V$ 这个规律更准确一些。”

我：“ $510$ 欧和 $1 K$ ？它们俩好像是 2 倍的关系？可以这么近似吗？”

师：“就是这样。其实用 $500$ 欧算出来最准，不过标称值中没有 500 欧的。”

师：“再进一步观察，还可以发现数字 0 对应的电压就是 $0 \times 0.3 V = 0 V$ ，数字1对应的电压就是 $1 \times 0.3 V = 0.3 V$ ，数字 2 对应的电压是 $2 \times 0.3 V = 0.6 V$ ，3 对应 $3 \times 0.3 V = 0.9 V$ 这样的规律。”

师：“如果我想把电压切成 8 份，那么只要把电路这样改下就行了。收图。（figure0051）”

我：“增加的 $2 K$ 电阻和那个 $1 K$ 的仍然保持 2 倍的关系？”

师：“是的。这个图你可以自己画表和计算。实际上只要再增加 $4 K$ 、 $8 K$ 、 $16 K$ 的电阻和开关，那就能把电压切分的更细。”

我：“问题是如果只使用标称值的电阻，那要怎样才能凑上整 2 倍关系的一系列阻值呢？”

师：“这就是这个电路最大的问题所在，凑不出来所需要的阻值。用这个新的电路就可以解决这个问题。收这个图吧。 figure0052）”

我：“这个有点不太好计算啊？两个开关都接 GND 最简单，输出 $0 V$ 。”

师：“S0 接 GND，S1 接 $+ 5 V$ 也不困难吧？”

我：“S0 接 GND，R1 和 R0 就并联了，是 $1 K$ ，和 $1 K$ 的 R2 串上是 $2 K$ ，再和 $2 K$ 的 R3 串联分压，输出 $2.5 V$ 。”

师：“那么 S0 接 $+ 5 V$ 而 S1 接 GND 呢？这个有点烦，该怎么想？”

我：“此时 OUT 端输出的电压，就是电流从右向左流过 R3 时在 R3 上形成的电压，所以要找一下 R3 上流过多少电流。”

我：“R3 和 R2 串联，之后和 R0 并联，再和 R1 串联。R3+R2= $3 K$ ， $3 K$ 和 $2 K$ 并联是 $1.2 K$ ，和 $2 K$ 串联分 $+ 5 V$ ，应该分到 $1.875 V$ ，所以流过 R3 的电流是 $1.875 V / 3 K$ ， $2 K$ 的 R3 上的电压是 $1.875 V \times (2 / 3) = 1.25 V$ 。”

师：“这是 $2.5 V$ 的一半对吧？所以当两个开关都接 $+ 5 V$ 时，OUT 端应该输出 $3.75 V$ ，比 $2.5 V$ 高出一个 $1.25 V$ 。”

我：“应该是吧？算一下看看。”

我：“这个很好算啊，还是 $3 K$ 并 $2 K$ 得 $1.2 K$ ，然后串 $2 K$ 电阻分 $+ 5 V$ ，还是分到 $1.875 V$ 。”

我：“不对啊？ $1 K$ 的 R2 从 $1.875 V$ 中分到 $0.625 V$ 啊？不是 $3.75 V$ 啊？”

师：“你这个错误太低级了。 $0.625 V$ 是 R2 两端的电压，我们现在要计算 OUT 端对 GND 输出的电压。是相对 GND 的，你的明白？”

我：“我忘了。还要加上 R0 两端的 1.875V 电压呢。”

师：“其实你应该知道 R3 两端电压是 $1.25 V$ ，从 $+ 5 V$ 中减去这个 $1.25 V$ 不就行了？”

我：“我糊涂了，这个简单，OUT 端输出 $3.75 V$ 没错。”

师：“我们只用 $1 K$ 和 $2 K$ 的电阻，就可以获得以 $1.25 V$ 为间隔的 4 个均匀的电压。两个电阻阻值恰为 2 倍关系。”

我：“想得 8 份电压呢？应该怎么增加电阻？”

师：“收图。就是这样往上堆电阻即可。（figure0053）”

我：“这个倒是显得很简单，可用的电阻数量太多了吧？”

师：“多乎哉？不多也。才两个阻值。”

我：“我是说电阻的个数多了。”

师：“知道。首先这个电路的性能好过前个电路，如果我们需要获得间隔很均匀的电压，肯定要用这个电路，多买几个电阻也值得。”

师：“其次，零件的规格少一点有好处，你是没啥体会啦，你叔叔办企业的有体会。你以后可以打听一下他们企业一共用多少种螺丝钉。”

我：“但是我还有问题。假如我去找工厂，定做一批 $500 / 1 K / 2 K / 4 K$ 这样的电阻，不用标称阻值，那么就解决了电压均匀间隔问题，用电阻个数还少。”

师：“不，解决不了电压均匀间隔问题。还记得电阻的‘精度’这一说吗？”

我：“记得，我都订做 $1 %$ 精度的，应该没问题啊？”

师：“ $500$ 欧电阻 $1 %$ 的精度，误差的实际数值是 $5$ 欧姆。那么 $32 K$ 电阻 $1$ 的精度呢？误差的实际数值是 $320$ 欧姆。”

师：“不能光看都是 $1 %$ 的，基数越大折算出来的误差值就越大。”

我：“也对啊，这样看后一个电路还真是有优势，两个阻值只差 1 倍，如果都选小一点的阻值那误差的实际值都可以比较小的。”

注意“精度”总是用个百分数来表示，所以这里关于电阻精度和输出电压精度之间的关系并没有说明确， $32 K$ 电阻的误差实际数值较大，但是否使输出电压的误差（也就是那个百分数）变得不可接受？还是值得深入探讨的。

师：“好了，研究完这样两个电路，那么这个图你就能看明白了。收一下。（figure0054）”

纵轴是电压， $0 V$ 到 $5 V$ ，横轴应该是切割的份数吧？切的份数越多，那么相临两份之间的差值就越小。最后一条直线是什么意思？

我：“我想这个图的意思是把 $0 V$ 到 $5 V$ 之间的电压等分成许多份，分得越多相临两个电压之间的差就越小，如果小到用仪器都分辨不出来的话，那就可以认为电压不是阶梯跳跃变化的，而是连续变化的。”

师：“大意是对的，不过我要给你一个新的说法。再收这个图吧。（figure0055）”

师：“左图是一个电压随时间 $t$ （横轴）连续变化的信号，你看看右图是个什么意思？”

我：“右图是不是说我们可以用一组‘阶梯跳跃’的电压把左图这个变化规律‘凑合’出来？”

师：“完全正确。而且只要这一组 ‘跳跃’ 的电压足够多，相临两电压差值足够小，那么凑出来的信号就越像左图的原始信号。”

我：“对啊，这个有点意思。”

师：“为了获得好的效果，首先要把某个范围内的电压（比如 $0 - 5 V$ ）细分，分的越细越好。其次，这个图横轴是时间，它说明了在‘单位时间’内，能够给出差值小的电压越多，就越能获得细腻的效果。”

我：“这个倒是挺好玩的，这有实际的用处吗？”

师：“有啊，你听的 CD 盘，看的 DVD 电影，打的电话都和这个有极密切的关系。我们以后会深入地讨论这个内容。”

我：“一杆子给支到以后去了，今天不能多说点？”

师：“对于那些电压随时间连续变化的信号（左图），我们称其为 ‘模拟’ 信号，而我们以前讨论的信号，要么是‘高电平’ $+ 5 V$ ，要么是‘低电平’ $0 V$ ，之间的 $2 V$ 啊 $3 V$ 的我们全不理睬。这个由所谓 ‘高电平’和‘低电平’组成的信号我们称之为‘数字’信号。”

我：“因为高低电平可以用数字 1 和 0 来表示，所以叫‘数字’信号对吧？”

师：“可以这么理解。我们今天所讨论的内容，其实是在‘模拟’和‘数字’之间搭了个桥。”

师：“称之为 Digit to Analog Converter，简称 DAC 或 D/A 变换。”

我：“有 DAC 也得有 ADC 吧？怎么搞？”

师：“ ‘模拟’ 变 ‘数字’，那是我们以后要讨论的内容。我们今天就说到这儿了。”

我：“又到这儿了，跟你学点东西真费劲，你总是不给多说一点。”

师：“剩下的靠你自己啦，吃别人嚼剩下的馍可不香啊。我走先。”

我：“走吧。剩下那口馍俺自己咬啦。”

还真不知道该如何进一步学习“模拟”和“数字”这方面的知识，要不就 GOOGLE一下“数字变模拟”吧，这是今天讨论的主题。

GOOGLE 的结果并不令人满意，都是些与今天的讨论没什么关系的内容。进而再查了下“数字信号模拟信号”，这回倒是有些内容，不过翻过几个网页都是不知所云。看来选不好关键词是没法找到适合我的内容了。

还是研究一下“二进制数”吧，以前了解过一点，今天把这个重要的内容彻底弄懂。于是重新 GOOGLE 了“二进制数”，呵呵，还是这个简单。

看过几个页面，加上以前的一些印像，“二进制数” 的基本内容大体上搞清楚了。突然间一个念头闪现在脑海之中：要不像 C# 那样写一个小短文吧？给 C# 发过去，看看他会有何评价？

本节补充说明

形如（figure0050）那样的 D/A 转换电路，我们称之为“权电阻网络”，除去那个 75 欧接 GND 的电阻，其它 3 个呈 2 倍阻值关系的电阻就是 “权” 电阻。这个 “权” 字本意指 “称砣”，电阻的阻值相当于称杆上的 “星”。或者这样理解，不同阻值的“权”电阻对于最终输出电压所做的贡献是不同的，贡献大小与它的阻值相关。而形如（figure0052）那样的 D/A 转换电路，我们称之为“R-2R 梯形电阻网络”。

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