2005-05-23：内阻，极其重要

闲来无事在网上瞎逛，忽然想到一个问题：“学了半天二极管数码管，这些东西该去哪儿买呢？” 中关村这地方应该是有这些东西卖的，不过我去的那些市场里似乎只有电脑，还真没注意过有没有二极管。或者 “某宝” 上有这东西卖？

我没在“某宝”上面买过东西，至少对我来说付钱实在太费劲。银行卡俺倒是有一张，可是俺叔却不让俺开通“网上银行”，说什么不安全，我这电脑上病毒木马一大堆，很容易让人把密码给盗了。真是小题大做，估且不说我这电脑上是不是病毒木马一大堆，就我那卡上一共也没有几两银子嘛，盗就盗呗。

打开“某宝”的主页，搜索栏里输入一个“LED 数码管”，哇塞还真不少，搜出一大片卖家。换了个“金属膜电阻”重搜了一下，又是一大把店铺，这些元器件这么容易买啊？

noob-coder注：现在买电子元器件都在嘉立创商城上买了。

师：“没看见我来了吗？招呼也不打一个？”

我：“我在‘某宝’上查了下‘LED 数码管’，好家伙不少人卖啊。”

师：“这些东西当然到处都是，‘某宝’上还有不少高级货呢。”

特别提醒：“某宝”上也有不少假货，呵呵。

我：“我在中关村怎没见着这些东西呢？看来以后就得从网上买了？”

师：“你若没去那些电子元器件卖场，当然看不见这些东西了。你打算买什么呢现在？”

我：“现在是不买什么，以后肯定要买啊，得做些真格的电路啊。”

师：“你小子还真是个实干派啊，怎没说让我出个卷子考个分数啊？”

我：“歇吧！在学校做卷子头都大了，回家再被你一通‘拷’，还活不活了！”

师：“慢慢来，离真正焊个电路出来还有一段距离。我们还得讨论欧姆定律。”

我：“这还没个完了？我以为该集成电路了呢，怎么又回去了？”

师：“你还急茬子的？先收这个图看看吧，这事急不得。（figure0097）”

我：“英雄！你放过我吧！你这些图都 ‘简单的令人发指’！以前还有个电阻，怎么现在连电阻也没了呢？”

师：“有个电阻那是‘简单的令人发指’，现在电阻没了，这事就复杂了。”

我：“这怎么复杂了？开关一接通，电源被短路，歇菜！”

师：“先别歇菜！先歇饭！你给算算有多大电流流过了导线行吗？”

这个电流并不好计算，因为不知道导线的电阻。想知道导线的电阻，就必须知道这根线是什么材料，也就是电阻率 ‘肉’，还得知道线的长短和粗细。不过这根线终究是导体，电阻肯定是很小的，那么我要把它的电阻取为 0 呢？肯定不行，除数能是 0 吗？

我：“你先说导线和开关的电阻是多少？要不没法算。”

师：“你已经假设过这根导线和开关的电阻是 0 了对吗？”

我：“那不还是没法算嘛！你当我是一年级的小豆包啊！ ”

师：“我们这样想：导线的电阻是很小的，而且随着线径加粗，电阻会越来越小，越来越接近 0，可是它就是不能到 0。”

我：“这样倒是没有分母为 0 的情况了，可还是算不出电流多大啊？”

师：“电流随着电阻的减小而增大，电阻越来越接近 0，电流就越来越接近‘无穷’大。”

以上说法用了一些非常初级的微积分概念。

我：“这都什么乱七八糟的啊？‘无穷’ 大是多大？你这结论有什么意义吗？”

师：“‘无穷’小和‘无穷’大只在数学中有意义，在工程实践中没什么意义。所以我得给你说点有意义的东西，要不你又急了。”

我：“不急不急，我先去洗手间把耳朵洗了，等会儿回来听有意义的。”

我以迅雷不及掩耳盗铃之速度冲向洗手间，还好没人占着坑，赶紧把下半身存的水放出去，然后返回电脑旁。C# 这家伙根本没有等我，已经把问题放出来了。

师：“我们说过电流总是环形流动的，从电源正极出来流向负极，然后在电源内部回到正极。这个还记得吧？”

我：“这个当然记得，这个很重要哈？”

师：“电子在导线中运动会遇到阻力，也就是电阻，那么它在电源内部运动时是不是也应该遇到阻力呢？”

我：“它在电源内部应该遇到动力啊？什么 ‘洛仑兹’力和化学反应之类的。”

师：“有动力就没阻力啊？汽车有动力没阻力刹得住车吗？得撞死多少人啊？”

我：“也对啊，如果没阻力也就不需要有动力了。”

为打破静止还是需要“第一推动”的。

师：“所以电子在电源内部运动也是要遭遇电阻的，这个电阻叫电源的‘内阻’。收图。（figure0098）”

师：“虚线框中是实际的电源 ‘等效’ 电路，它由一个‘理想电压源 E’和一个‘内阻 r’组成。我们要通过这个图讨论 5 个知识点。”

我：“就这么个图有 5 个知识点呢？你比我们班主任不能说略高一畴也是不相上下了。”

师：“第一：‘理想电压源’内阻是 0，对电子运动无阻碍。或者说对‘电流’而言相当于‘短路’。”

我：“这个可以理解。实际电源就得把那个 r 带上。”

师：“第二：如果电源开路不接负载，那么实际电源输出的电压等于这个电路中‘理想电压源 E’输出的电压。”

对于图（figure0098）来说，当开关 S 断开时，S 两端的电压就等于理想电压源 E 的电压。

我：“这个早知道了，r 上没有电流流过就不会 ‘降落’电压。”

我：“第三点我猜到了：如果接了负载，那实际电源输出的电压就比理想电压源 E 低，因为内阻 r 和负载串联分压了。”

师：“还挺能猜啊你？那你猜猜这图想说明什么呢？（figure0099）”

我：“这个电源的符号咋回事？”

师：“这表示你家墙壁上那个 $220 V$ 电源。”

很多电灯并联在一起，如果所有的灯都关着，那么“实际电压”就是电源输出的 $220 V$ 电压，开了一盏灯，灯的电阻和 r 分压，“实际电压” 就会降低一点，再开一盏灯，由于两盏灯并联后总电阻变小了，而电源内阻没变，那么两盏灯分到的电压就更低一点。如果再开一盏灯呢？

我：“这个图的意思是灯开的越多，电源实际能供出的电压就越低？”

师：“就是这意思。你有没有在农村生活过？”

我：“我知道了。我有亲戚在外地农村，前些年他们那边电力不足，晚上用电高峰时管儿灯一闪一闪的亮不起来。”

师：“用电高峰时电压变得很低，使用普通镇流器的日光灯就亮不起来了。”

我：“镇流器是个什么东西？没听说过。”

师：“这个以后再跟你说。不过我想现在你对 ‘内阻’应该没什么好感了吧。”

我：“对，这个内阻白费电。这个内阻会不会发热呢？”

师：“它当然会发热，它发热就表现为电源在发热。随着负载变重电源越来越热。这就是我要总结的第四点。”

一点提示：为了让电源适应轻重不同的负载，它的内阻应该尽可能的小才好。

我：“咱这脑袋瓜子就是灵！嘿嘿。”

师：“先别吹了，还有第五点：如果一个电源内阻‘特别大’，那么当它接一个小阻值的负载后，我们可以认为这个电源输出的电流不随负载电阻的大小而变化。”

我：“这个不太好懂。”

师：“假设电源是 $5 V$ ，内阻 $10 M Ω$ ，我们外接一个 $1 Ω$ 的负载，这时电流是多大？（figure0100-a）”

我：“ $5 V / 10000001 Ω \approx 0.0000004999 A$ 。”

师：“从实践的角度来看， $1 Ω$ 相对于 $10 M Ω$ 来说可以忽略不计的，所以电流取 $0.0000005 A$ 。”

师：“现在负载电阻变为 $10 Ω$ 呢？增大 10 倍。（figure0100-b）”

我：“ $10 Ω$ 相对 $10 M Ω$ 也忽略不计吧？”

师：“所以，我们认为这个电源输出的电流 $I$ 不随负载电阻 $R_{L}$ 变化而变化，仅取决于内阻 r。”

我：“但是负载电阻 $R_{L}$ 增大到 $1 M Ω$ 就不能不考虑了。”

师：“对啊。这就是我们得出结论必须附加的限定条件：负载电阻‘远小于’电源内阻。”

我：“这 $0.5 μ A$ 的电流够干嘛的？这有什么意思呢？”

师：“我们现在把电源的内阻变成一个‘可调电阻’，再来看看这个电源能有什么特性。收这个图。（figure0101）”

师：“如果负载电阻 $R_{L}$ 变小，负载变重，这时电源实际输出电压会降低。如果我们把可变内阻 r 也调小，那么电源实际输出电压就会保持不变。”

我：“如果 $R_{L}$ 变大，那么内阻 $r$ 也可以调大，一样保持实际输出电压不变？”

师：“是的。这个电源就是‘稳压电源’，或者称‘恒压源’。我们以后会接触到‘稳压电源’。”

注意实际的 “稳压电源” 不仅是在负载 $R_{L}$ 变化时可以稳定输出电压，在电源 $E$ 升高或降低时也可以保持输出电压不变。

我：“看来还应该有 ‘稳流电源’ 啊？ ‘恒流源’ ？”

师：“我们刚说的那个 $5 V + 10 M$ 内阻的电源就是一个‘恒流源’啊？”

这里大家可记下一个粗略的结论：当我们遇到一个 ‘恒流源’（或者‘电流源’）时，一般认为它有高内阻。

我：“那个算是近似的恒流吧？ $R_{L}$ 变小时把内阻调大，保持总电阻不变，那样电流才是恒定的。”

我：“你说的 ‘稳压电源’ 是不是用一个稳压二极管就可以做？这和内阻有什么关系？”

师：“稳压二极管可以做，我们以后再说。下面要讨论一下‘电压源’输出的能量如何才能最大限度的供给负载，让内阻浪费的能量最小。”

我：“这还讨论？负载电阻值越大越好啊？越大的话它两端获得的电压就越高。”

师：“我在说‘能量’，不是单纯的电压，还要考虑电流。先别打岔！”

师：“还是看这个图（figure0101）。负载 $R_{L}$ 两端的电压怎么算？”

我：“这太小儿科了。 $U_{L} = E \times R_{L} / (R_{L} + r)$ 。没错吧？”

师：“我这样给你计算一下吧。”

师：“流过 $R_{L}$ 的电流， $I_{L} = E / (R_{L} + r)$ 。所以 $R_{L}$ 获得的能量可以用 $P_{L} = {I_{L}}^{2} \times R_{L} = E^{2} \times R_{L} / (R_{L} + r)^{2}$ 来表达。我们想知道 $P_{L}$ 在什么情况下能取到最大值？”

师：“这之后的内容就不是电学了，而是数学。因为 $E^{2}$ 是个常数，所以当 $R_{L} / (R_{L} + r)^{2}$ 取最大值时 $P_{L}$ 就是最大值。”

师：“ $R_{L} / (R_{L} + r)^{2}$ 可以改写成分式 $\frac{1}{(R_{L} + r)^{2} / R_{L}}$ ，所以当分母 $(R_{L} + r)^{2} / R_{L}$ 取最小值时这个分式取最大值。”

师：“ $(R_{L} + r)^{2}$ 可以展开成 ${R_{L}}^{2} + 2 r R_{L} + r^{2}$ ，进一步改写成 ${R_{L}}^{2} - 2 r R_{L} + r^{2} + 4 r R_{L}$ ，再整理成 $(R_{L} - r)^{2} + 4 r R_{L}$ ，这样分母 $(R_{L} + r)^{2} / R_{L}$ 就变形成 $(R_{L} - r)^{2} / R_{L} + 4 r$ 。”

师：“好了， $4 r$ 又是常数，所以 $(R_{L} - r)^{2} / R_{L}$ 取最小值时分母最小。 $(R_{L} - r)^{2} / R_{L}$ 的最小值只能是 $0$ 了。所以 $(R_{L} - r)^{2} = 0$ ，所以 $R_{L} = r$ 。”

师：“结论就是当负载电阻 $R_{L}$ 和电源内阻 $r$ 相等时，负载上能获得最多的能量。该能量可表达为 $P_{L} = E^{2} \times R_{L} / (R_{L} + r)^{2} = E^{2} / 4 R_{L}$ 。”

我：“不是吧？当 $R_{L} = r$ 时理想电压源 $E$ 提供的总能量可是 $E^{2} / 2 R_{L}$ ，负载只拿到一半，另一半耗在内阻上？”

方程式写得比较乱，大家只要记住“ $R_{L} = r$ ”即负载电阻等于电源内阻时负载可获得最大能量这个结论就可以了。

noob-coder注：李春生老师原文中的功率公式 $P_{L} = U_{L} \times R_{L}$ 是错误的，正确的应该是 $P_{L} = {I_{L}}^{2} \times R_{L}$ 或者 $P_{L} = {U_{L}}^{2} / R_{L}$ 。上文已更正。

我：“这也太夸张了，内阻总是存在的，所以这些发电厂水电站发出的电能最多也只有一半送到我们家了？”

师：“这就是现实。你对 ‘内阻’ 更没有好感了吧？我也很烦这个东西。”

我：“在 $R_{L} = r$ 这种情况下负载两端的电压也只有 $E$ 的一半了。”

师：“对啊，实际上电源有内阻，‘信号源’也有内阻。这个图（figure0102）的灰色框实际上代表一个信号源，向外提供 0 和 1 两个信号。”

我：“（a）图向外输出 1 的时候内阻就是上拉电阻的值对吗？”

师：“它输出 1 时内阻 ‘在数值上’ 等于上拉电阻的值。输出 0 时内阻‘在数值上’为 0。”

我：“因为开关把输出端和 GND 断路了，所以内阻为 0？这样看（b）图上下两个开关的电路很有好处啊？”

师：“对啊。（b）图的电路无论输出 0 还是 1 内阻都很小而且相等，（a）图这种开关加上拉电阻的电路就不是这样，它输出 0 和输出 1 时内阻差异很大。”

我：“内阻有点变化也没什么问题吧？只要后面电路的输入电阻足够高，就不会影响 0 和 1 的表达。”

师：“这个问题以后我们讨论 ‘电容器’ 的时候再说。今天的内容就只有这么多了。”

我：“OK，我自己再琢磨琢磨今天讨论的内容。

师：“再见，晚安。”

除了“理想电压源”之外还有没有“理想电流源”呢？应该是有，这种理想电流源内阻应该是“无穷大”的吧？可如果是这样，这电流就是无法通过它的，那这电路中怎么还会有电流呢？整个环路在电流源这里“断路”了啊？难不成电流又不能流成一个环路？

放狗搜了下“理想电流源”，看到有人跟我有同样的疑问。翻看了几个页面，我感觉这个电流源的特色是“确保流过一个恒定的电流”，电流可以从电流源中流过，但电流的大小受到电流源的限制，只能是一个固定的取值。或者说当我试图取得一个更大的电流时，这个电流源会偷偷摸摸地升高它的内阻，限制流过它的电流就只有那么大。

我感觉，这个“电流源”在电路中不是当成电源用，应该把它看做一个“限流元件”比较好一点。这个电流源的原理图符号也是满有特色的，figure9015 中包括了网上搜来的图符，（a）是电压源符号，（b）到（d）是电流源的符号，可见表示电源的圆圈中有一道横线截断了线路，这大约是暗示“高内阻”吧？电流源的符号上都带一个箭头指出电流的方向，然而（b）图中还带了表示极性的正负号，这个电源极性和电流方向好象反了吧？另两个符号上只带了箭头没有极性，搞不明白是怎么回事。

而关于负载上如何获得最多的能量这个问题，我还是有一些困惑，因为一直以来我们都是在强调“后级电路的输入电阻越大越好”。当然这说法是有前提的，我们的目的一直是为获得尽可能高的输入电压，在此目的之下我们需要高输入电阻。现在着眼点变成了 “能量”，于是负载电阻与电源的内阻就必须相等了，这要不等会有什么问题吗？主要的问题当然是负载得不到最多的能量，还有别的问题吗？如果负载电阻小于电源的内阻呢？这时不仅负载上得不到最大的能量，而且电源的内阻上还要发热，这恐怕有风险。那么负载电阻大于电源的内阻又会怎样？这应该没有什么发热的风险了，但这似乎是浪费了电源的“能力”吧？

对于图中的（figure0102-a），C# 说过“输出 1 时内阻在数值上等于上拉电阻的值。输出 0 时内阻在数值上为 0。”我不理解为何要强调“在数值上”等于，在我看来输出 1 时内阻就是上拉电阻啊？难道还掺乎着别的？

2005-05-23：内阻，极其重要 ​

2005-05-23：内阻，极其重要