四、导数的应用

1. 函数的单调区间与极值

(1) 函数单调性的判定法

定理

设函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。

① 如果在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime }(x)>0$，则函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调增加 $\uparrow$；

② 如果在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime }(x)<0$，则函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调减少 $\downarrow$。

(2) 极值与最值的定义

极值

设函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，当 $x\in U(x_0)$ 时，有

$$f(x)<f(x_0)(\mathrm{或}f(x)>f(x_0))$$

则称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 的一个极大（极小）值，点 $x=x_0$ 称为函数 $f(x)$ 的一个极大（极小）值点。

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。

最值

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，如果存在 $x_0\in I$，使对于一切 $x\in I$ 有

$$f(x)\le f(x_0)(\mathrm{或}f(x)\ge f(x_0))$$

则称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的最大（最小）值。

(3) 函数极值的必要条件和充分条件

极值的必要条件

设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导、且在 $x=x_0$ 处取得极值，则 $f^{\prime }(x_0)=0$。

极值的第一充分条件

设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，且在 $x=x_0$ 的某去心邻域 $U(x_0,\delta )$ 内可导，$f^{\prime }(x_0)=0$ 或 $f^{\prime }(x_0)$ 不存在。

① 若 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，而 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值；

② 若 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，而 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极小值。

极值的第二充分条件

设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处具有二阶导数且 $f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{″}(x_0)\ne 0$，则

① 当 $f^{″}(x_0)<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值；

② 当 $f^{″}(x_0)>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极小值。

(4) 闭区间上连续函数的最值求法

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。

① 求出 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内的驻点及不可导的点，求出 $f(x)$ 在这些点的函数值以及在区间端点处的函数值；

② 比较得 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值 $M$ 与最小值 $m$，当 $f(x)$ 在区间 $I$ 内只有一个极大（小）值时，则此极大（小）值就是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的最大（小）值。

(5) 应用问题的最值求法

① 根据应用问题，建立函数关系式 $y=f(x)$ ，并指出其定义区间 $I$ ；

② 求 $y=f(x)$ 在 $I$ 内的驻点，并判定驻点是否是极大（极小）值点；

③ 如果 $y=f(x)$ 在 $I$ 内只有一个极大（极小）值点，则此极大（极小）值点就是 $y=f(x)$ 在 $I$ 上的最大（最小）值点。

2. 函数曲线的凹凸性与拐点

(1) 曲线的凹凸性与拐点的定义

凹凸性

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，如果对于 $I$ 上任意两点 $x_1$、$x_2$，恒有

$$\begin{array}{r}f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\\ (\mathrm{或}f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2})\end{array}$$

则称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凹（凸）的。

拐点

函数 $y=f(x)$ 的图形由凹（凸）变凸（凹）的分界点称曲线 $y=f(x)$ 的拐点。

(2) 曲线凹凸性的判定

如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 内具有二阶导数，则

① 如果在 $I$ 内 $f^{″}(x)>0$，则 $y=f(x)$ 在 $I$ 内的图形是凹的；

② 如果在 $I$ 内 $f^{″}(x)<0$，则 $y=f(x)$ 在 $I$ 内的图形是凸的。

(3) 拐点的必要条件和充分条件

拐点的必要条件

设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处二阶可导，且点 $(x_0,f(x_0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点，则 $f^{″}(x_0)=0$。

拐点的充分条件

设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，且在 $x_0$ 的某去心邻域内二阶可导，$f^{″}(x)=0$ 或 $f^{″}(x_0)$ 不存在，则当 $x$ 从 $x_0$ 的左邻域到右邻域经过 $x_0$ 时，$f^{″}(x)$ 变号，则点 $(x_0,f(x_0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点。

3. 渐近线

(1) 水平渐近线

如果 $\underset{\begin{array}{c}x\to \infty \\ (x\to +\infty )\\ (x\to -\infty )\end{array}}{lim}f(x)=A$，则直线 $y=A$ 就是曲线 $y=f(x)$ 的水平渐近线。

(2) 垂直渐近线

如果 $\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ (x\to x_0^{-})\\ (x\to x_0^{+})\end{array}}{lim}f(x)=\infty$（或 $+\infty$，或 $-\infty$），则直线 $x=x_0$ 就是曲线 $y=f(x)$ 的垂直渐近线。

(3) 斜渐近线

如果 $\underset{\begin{array}{c}x\to \infty \\ (x\to +\infty )\\ (x\to -\infty )\end{array}}{lim}[f(x)-ax-b]=0$，则直线 $y=ax+b$ 就是曲线 $y=f(x)$ 的斜渐近线，其中 $a=\underset{\begin{array}{c}x\to \infty \\ (x\to +\infty )\\ (x\to -\infty )\end{array}}{lim}\frac{f(x)}{x}$， $b=\underset{\begin{array}{c}x\to \infty \\ (x\to +\infty )\\ (x\to -\infty )\end{array}}{lim}[f(x)-ax]$。

4. 曲率 数学一 数学二

(1) 弧微分

直角坐标系下，曲线 $y=f(x)$ 上任意一点 $(x,y)$ 处的弧微分公式为

$$\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x{)}^2+(\mathrm{d}y{)}^2}=\sqrt{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x$$

(2) 曲率的计算公式

设函数 $f(x)$ 二阶可导，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x,y)$ 处的曲率为

$$k=\frac{|y^{″}|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$$

(3) 曲率圆、曲率半径与曲率中心

设曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x,y)$ 处的曲率 $k(k\ne 0)$，在点 $M(x,y)$ 处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点 $D$，使 $|DM|=\frac{1}{k}=\rho$，以 $D$ 为圆心、$\rho$ 为半径作圆，这个圆叫做曲线在点 $M$ 处的曲率圆，曲率圆的圆心 $D$ 叫做曲线在点 $M$ 处的曲率中心，曲率圆的半径 $\rho =\frac{1}{k}=\frac{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}{|y^{″}|}$ 叫做曲线在点 $M$ 处的曲率半径。