二、中值定理

• 1. 费马定理
• 2. 罗尔定理
• 3. 拉格朗日中值定理
• 4. 柯西中值定理
• 5. 泰勒定理
  • (1) 泰勒定理与麦克劳林公式
  • (2) 常用函数的麦克劳林公式

1. 费马定理

如果函数 $f(x)$ 满足在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义且在 $x_0$ 处可导，且对任意的 $x\in U(x_0)$ ，有 $f(x)\le f(x_0)(\mathrm{或}f(x)\ge f(x_0))$，那么 $f^{\prime }(x_0)=0$。

2. 罗尔定理

如果函数 $f(x)$ 满足

① 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；

② 在开区间 $(a,b)$ 内可导；

③ 在区间端点处的函数值相等，即 $f(a)=f(b)$，那么在 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi (a<\xi <b)$ ，使得$f^{\prime }(\xi )=0$。

3. 拉格朗日中值定理

如果函数 $f(x)$ 满足

① 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；

② 在开区间 $(a,b)$ 内可导，

那么在 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi (a<\xi <b)$，使等式

$$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$$

成立。

4. 柯西中值定理

如果函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 满足

① 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；

② 在开区间 $(a,b)$ 内可导；

③ 对任意 $x\in (a,b)$，$F^{\prime }(x)\ne 0$。

那么在 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi (a<\xi <b)$，使等式

$$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}$$

成立。

5. 泰勒定理

(1) 泰勒定理与麦克劳林公式

如果函数 $f(x)$ 在含有 $x_0$ 的某个开区间 $(a,b)$ 内具有直到 $(n+1)$ 阶的导数，则对任意$x\in (a,b)$，有

$$\begin{array}{rl}f(x)=& f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots \\ & +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)，(1.1)\end{array}$$

其中，$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$， $\xi$ 是 $x_0$ 与 $x$ 之间的某个值，称为具有拉格朗日型余项的 $n$ 阶泰勒公式。

$R_n(x)=o[(x-x_0{)}^n]$，称为具有皮亚诺型余项的 $n$ 阶泰勒公式。

特别地，当 $x_0=0$ 时，$(1.1)$式子成为

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+R_n(x)$$

其中，$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}$ ，$\xi$ 是 $0$ 与 $x$ 之间的某个值域 $\xi =\theta x(x<\theta <1)$，称为具有拉格朗日型余项的 $n$ 阶麦克劳林公式；$R_n(x)=o(x^n)$，称为具有皮亚诺型余项的 $n$ 阶麦克劳林公式。

(2) 常用函数的麦克劳林公式

$$\begin{array}{rl}{e}^x& =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\\ \\ \sin x& =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})\\ \\ \cos x& =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})\\ \\ \ln (1+x)& =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{(n+1)}}{n+1}+o(x^{n+1})\\ \\ (1+x{)}^{\mu }& =1+\mu x+\frac{\mu (\mu -1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{\mu (\mu -1)\cdots (\mu -n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)\\ \end{array}$$