三、不定积分与定积分的关系

1. 积分上限函数

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\mathrm{\Phi }(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t,x\in [a,b]$ 称为积分上限函数。

2. 积分上限函数导数

(1) 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则积分上限函数

$$\mathrm{\Phi }(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$$

在 $[a,b]$ 可导，且

$${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x)(a\le x\le b)$$

(2) 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则积分上限函数

$$\mathrm{\Phi }(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$$

是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，而

$$\mathrm{\Phi }(x)+C_1={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t+C_1={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+C(C=C_1+{\int }_a^{0}f(t)\mathrm{d}t)$$

是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的所有原函数。

3. 牛顿—莱布尼茨公式（微积分基本公式）

设连续函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数 $F(x)$，则

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$$