二、极限

1. 数列的极限

(1) 数列极限的定义

设 ${x_{n}}$ 为一数列，如果存在常数 $A$ ，对于任意给定的 $ε ＞ 0$ ，总存在正整数 $N ＞ 0$ ，使得当 $n ＞ N$ 时，不等式

| x_{n} - A | ＜ ε

恒成立，则称常数 $A$ 是数列 ${x_{n}}$ 的极限，或称数列 ${x_{n}}$ 收敛于 $A$ ，记为 $lim_{n \to \infty} x_{n}$ ，即 $lim_{n \to \infty} x_{n} = A$ 。否则称数列 ${x_{n}}$ 是发散的。

(2) 收敛数列的性质

极限的唯一性 如果数列 ${x_{n}}$ 收敛，则其极限唯一。
收敛数列的有界性 如果数列 ${x_{n}}$ 收敛，则 ${x_{n}}$ 一定有界，但有界数列 ${x_{n}}$ 未必收敛，如：数列 $x_{n} = (- 1)^{n}$ 有界，但 ${(- 1)^{n}}$ 发散。
收敛数列的保号性 如果 $lim_{n \to \infty} x_{n} = A$ ，且 $A ＞ 0 （或 A \leq 0 ）$ ，则存在正整数 $N ＞ 0$ ，当 $n ＞ N$ 时，都有 $x_{n} ＞ 0 （或 x_{n} ＜ 0 ）$ 。

2. 函数的极限

(1) 函数极限的定义

定义1 自变量趋于有限值时函数的极限

lim_{x \to x_{0}} f (x) = A \Leftrightarrow \forall_{ε} > 0, \exists δ > 0, 当 0 < | x - x_{0} | < δ 时 ， 有 | f (x) - A | < ε

定义2 自变量趋于无穷大时函数的极限

lim_{x \to \infty} f (x) = A \Leftrightarrow \forall_{ε} > 0, \exists X > 0, 当 | x | > X 时 ， 有 | f (x) - A | < ε

(2) 左极限与右极限

① 定义

左极限 $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = A \Leftrightarrow \forall_{ε} > 0, \exists δ > 0$ ，当 $- δ < x - x_{0} < 0$ 时，有

| f (x) - A | < ε

右极限 $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = A \Leftrightarrow \forall_{ε} > 0, \exists δ > 0$ ，当 $0 < x - x_{0} < δ$ 时，有

| f (x) - A | < ε

② 极限之间的关系

lim_{x \to x_{0}} f (x) = A \Leftrightarrow lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = A

(3) 函数极限的性质

① 唯一性

若 $lim_{x \to x_{0}} f (x) 或 lim_{x \to \infty} f (x)$ 存在，则此极限值必唯一。

② 局部有界性

若 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ 存在，则 $\exists M > 0$ 和 $δ > 0$ ，使得当 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 时，有 $f (x) \leq M$ 。

③ 局部保号性

如果 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ ，且 $A > 0 （或 A < 0 ）$ ，则 $\exists δ > 0$ ，使得当 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 时，有 $f (x) > 0 （或 f (x) < 0 ）$ 。

推论

如果 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ ，且在 $x_{0}$ 的某一去心邻域内 $f (x) \geq 0 （或 f (x) \leq 0 ）$ ，则 $A \geq 0 （或 A \leq 0 ）$ 。

3. 无穷小量与无穷大量

(1) 定义

定义1

如果 $lim_{x \to *} f (x) = 0$ ，则称当 $x \to *$ 时 $f (x)$ 为无穷小。

*是 $x_{0}, x_{0}^{+}, x_{0}^{-}$ 或 $\infty, - \infty, + \infty$ 中的某一个。（下同）

定义2

如果 $lim_{x \to *} f (x) = \infty$ ，则称当 $x \to *$ 时 $f (x)$ 为无穷大。

(2) 性质

性质1

$lim_{x \to *} f (x) = A \Leftrightarrow f (x) = A + a$ ，其中 $lim_{x \to *} a = 0$ 。

性质2

在自变量的同一变化过程中，

① 如果 $lim_{x \to *} f (x) = \infty$ ，则 $lim_{x \to *} \frac{1}{f (x)} = 0$ ；

② 如果 $lim_{x \to *} f (x) = 0$ ，且 $f (x) \neq 0$ ，则 $lim_{x \to *} \frac{1}{f (x)} = \infty$ 。

性质3

① 有限个无穷小的和仍是无穷小；

② 有界函数与无穷小的乘积是无穷小；

③ 常数与无穷小的乘积是无穷小；

④ 有限个无穷小的乘积是无穷小。

(3) 无穷小量的比较

设在自变量的同一变化过程中， $lim_{x \to *} α = lim_{x \to *} β = 0$ 。

① 如果 $lim_{x \to *} \frac{β}{α} = 0$ ，则称 $β$ 是比 $α$ 高阶的无穷小，记作 $β = o (α)$ ；

② 如果 $lim_{x \to *} \frac{β}{α} = \infty$ ，则称 $β$ 是比 $α$ 低阶的无穷小；

③ 如果 $lim_{x \to *} \frac{β}{α} = C (C \neq 0)$ ，则称 $β$ 与 $α$ 是同阶无穷小；

④ 如果 $lim_{x \to *} \frac{β}{α^{k}} = C (C \neq 0, k > 0)$ ，则称 $β$ 是 $α$ 的 $k$ 阶无穷小；

⑤ 如果 $lim_{x \to *} \frac{β}{α} = 1$ ，则称 $β$ 与 $α$ 是等价无穷小，记作 $α ～ β$ ；

(4) 等价无穷小替换定理

设在自变量的同一变化过程中， $α, α^{'}, β, β^{'}$ 都是无穷小，且 $α ～ α^{'}, β ～ β^{'}$ ，如果 $lim_{x \to *} \frac{β^{'}}{α^{'}}$ 存在且 $lim_{x \to *} \frac{β^{'}}{α^{'}} = A$ ，则 $lim_{x \to *} \frac{β}{α} = lim_{x \to *} \frac{β^{'}}{α^{'}} = A$ 。

4. 极限的四则运算法则

设在自变量的同一变化过程中， $lim_{x \to *} f (x) = A, lim_{x \to *} g (x) = B$ ，则

(1) $lim_{x \to *} [f (x) \pm g (x)] = A \pm B$ ；
(2) $lim_{x \to *} [f (x) \cdot g (x)] = A \cdot B$ ；

推论 1

$lim_{x \to *} [C f (x)] = C lim_{x \to *} f (x) = C A$ ，其中 $C$ 为常数；

推论 2

$lim_{x \to *} [f (x)]^{n} = [lim_{x \to *} f (x)]^{n} = A^{n}$ ；

(3) $lim_{x \to *} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{A}{B}$ ，其中 $B \neq 0$ 。运算前提是 $lim_{x \to *} f (x), lim_{x \to *} g (x)$ 都存在。

5. 极限存在的判别方法

(1) 夹逼定理

若 $g (x) \leq f (x) \leq h (x)$ ，且 $lim g (x) = lim h (x) = A$ ，则 $lim f (x) = A$ 。

(2) 单调有界数列必有极限

(3) 三个重要极限

第一个重要极限

lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

第二个重要极限

lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e 或 lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e

第三个重要极限

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 或 lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 （ 常 数 a > 0 ）

二、极限 ​

1. 数列的极限 ​

(1) 数列极限的定义 ​

(2) 收敛数列的性质 ​

2. 函数的极限 ​

(1) 函数极限的定义 ​

(2) 左极限与右极限 ​

① 定义 ​

② 极限之间的关系 ​

(3) 函数极限的性质 ​

① 唯一性 ​

② 局部有界性 ​

③ 局部保号性 ​

3. 无穷小量与无穷大量 ​

(1) 定义 ​

(2) 性质 ​

(3) 无穷小量的比较 ​

(4) 等价无穷小替换定理 ​

4. 极限的四则运算法则 ​

5. 极限存在的判别方法 ​

(1) 夹逼定理 ​

(2) 单调有界数列必有极限 ​

(3) 三个重要极限 ​