一、导数与微分

• 1. 导数
  • (1) 导数的定义
  • (2) 左、右导数
  • (3) 导数的意义
• 2. 函数的求导法则
  • (1) 函数的求导法则
  • (2) 反函数的求导法则
  • (3) 复合函数的求导法则
• 3. 高阶导数
  • (1) 定义
  • (2) 运算法则
  • (3) 常用函数的高阶导数公式
• 4. 常见类型函数的求导方法
  • (1) 隐函数的求导
  • (2) 参数方程所确定的函数的求导 数学一 数学二
  • (3) 幂指函数的求导
  • (4) 分段函数的求导
• 5. 函数的微分
  • (1) 定义
  • (2) 可导与可微的关系
  • (3) 基本初等函数的微分公式与微分运算法则

1. 导数

(1) 导数的定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 的某域 $U(x_0)$ 内有定义，并设 $x_0+\mathrm{\Delta }x\in U(x_0)$。如果

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

存在，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称该极限值为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为 $f^{\prime }(x_0)$，即

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

也可记为 $y^{\prime }{|}_{x=x_0}$，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=x_0}$ 或 $\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}{|}_{x=x_0}$

如果函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内每一点都可导，则称 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内可导。这时对任意 $x\in (a,b)$ ，都存在 $f(x)$ 的一个导数值，记作 $f^{\prime }(x)$，$y^{\prime }$，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 或 $\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$ 。与之对应，这样就得到一个定义在开区间 $(a,b)$ 内的函数 $f(x)$，称为 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内的导函数，即

$$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$$

(2) 左、右导数

① 定义

左导数：

$$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

右导数：

$$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

② 左、右导数与导数的关系

$$f^{\prime }(x_0)\mathrm{存}\mathrm{在}⟺f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)$$

(3) 导数的意义

1) 几何意义

函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处的导数$f^{\prime }(x_0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x_0,y_0)$ 处的切线斜率。

曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x_0,y_0)$ 处的切线方程为：

当 $f^{\prime }(x_0)$ 存在时，$y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$；

当 $f^{\prime }(x_0)=\mathrm{\infty }$ 时，$x=x_0$。

曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x_0,y_0)$ 处的法线方程为：

当 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$时，$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$；

当 $f^{\prime }(x_0)=0$时，$x=x_0$；

2) 物理意义 数学一 数学二

如果非匀速直线运动的质点的位置函数为 $s=f(t)$，则 $f^{\prime }(t)$ 表示质点在时刻 $t$ 的 （瞬时）速度， $f^{″}(t)$ 表示质点在时刻 $t$ 的 （瞬时）加速度。

3) 经济意义 数学三

① 边际函数

设函数 $y=f(x)$ 可导，则导函数 $f^{\prime }(x)$ 在经济学中称为边际函数。

成本函数 $C=C(Q)$ 的导数 $C^{\prime }(Q)$ 称边际成本函数，其经济意义：$C^{\prime }(Q)$ 近似表示产量为 $Q$ 时再生产1个单位产品所需增加的成本。

收益函数 $R=R(Q)$ 的导数 $R^{\prime }(Q)$ 称为边际收益函数，其经济意义：$R^{\prime }(Q)$ 近似表示销售量为 $Q$ 时再销售1个单位产品所增加（减少）的收人。

利润函数 $L=L(Q)$ 的导数 $L^{\prime }(Q)$ 称为边际利润函数。因为 $L(Q)=R(Q)-C(Q)$，所以 $L^{\prime }(Q)=R^{\prime }(Q)-C^{\prime }(Q)$。

② 弹性函数

设函数 $y=f(x)$ 可导，则称 $\frac{x}{y}{f}^{\prime }(x)$ 为函数 $y=f(x)$ 的弹性函数，记作 $E_x$，即$E_x=\frac{x}{y}{f}^{\prime }(x)$ 。其经济意义：当 $x$ 在某点 $x_0$ 产生 $1\mathrm{\%}$ 变化时，$f(x)$ 在该点 $x_0$ 变化 $|\frac{x_0}{y_0}{f}^{\prime }(x_0)|\mathrm{\%}$。

设某产品的需求量 $Q$ 是价格 $P$ 的函数，称 $Q=Q(P)$为需求函数，则需求对价格的弹性为

$$E_p=-\frac{P}{Q}\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}$$

也称为需求弹性（因为$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}<0$，为使$E_p>0$，前面加负号）。

4) 可导与连续的关系

设 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处可导，则 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处连续，但反之不真。即：

可导一定连续，连续不一定可导！

2. 函数的求导法则

(1) 函数的求导法则

设函数 $u(x)$，$v(x)$ 都可导，则

① $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$；

② $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime },(Cu{)}^{\prime }=C{u}^{\prime }$；

③ $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}(v\ne 0)$

(2) 反函数的求导法则

如果函数 $x=f(y)$ 在区间 $I_y$ 内单调、可导且 $f^{\prime }(y)\ne 0$，则其反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在 $I_x=f(I_y)$ 内也可导，且

$$(f^{-1}(x){)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(y)}\mathrm{或}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$$

(3) 复合函数的求导法则

设 $y=f(u),u=g(x)$，且 $f(u),g(x)$都可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 可导，且

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\mathrm{或}{y}^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)$$

3. 高阶导数

(1) 定义

把函数 $y=f(x)$ 的导函数 $y^{\prime }=f^{\prime }(x)$ 的导数叫做函数 $y=f(x)$ 的二阶导数，记作 $y^{″}$ 或 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$，即

$$y^{″}=(y^{\prime }{)}^{\prime }\mathrm{或}\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y})=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}=\frac{f^{\prime }(x+\mathrm{\Delta }x)-f^{\prime }(x)}{\mathrm{\Delta }x}$$

以此类推定义函数 $n$ 阶导数，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。

(2) 运算法则

设 $u(x),v(x)$ 均为 $n$ 阶可导，则

① $(u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$；

② $(Cu{)}^{(n)}=C{u}^{(n)}$；

③ $(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{V}^k$

该公式称莱布尼茨公式。

(3) 常用函数的高阶导数公式

① $(e^{ax}{)}^{(n)}=a^n{e}^{ax}$

② $(\sin ax{)}^{(n)}=a^n\sin (\frac{\pi }{2}n+ax)$

③ $(\cos ax{)}^{(n)}=a^n\cos (\frac{\pi }{2}n+ax)$

④ $[\ln (1+x){]}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(1+x{)}^n}$

⑤ $(x^{\mu }{)}^{(n)}=\mu (\mu -1)\cdots (\mu -n+1)x^{\mu -n}$

特别地，当 $\mu =m$ 为正整数时，

$(x^m{)}^{(n)}=\{\begin{array}{ll}m(m-1)\cdots (m-n+1)x^{m-n},& n>m\\ m!,& n=m\\ 0,& n<m\end{array}$

4. 常见类型函数的求导方法

(1) 隐函数的求导

设 $y=y(x)$ 是由方程 $F(x,y)$ 确定的隐函数，将方程 $F(x,y)=0$ 两边对 $x$ 求导，得到含 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的一个方程，从中解出 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 即可（假定其中出现的分母不为0）。

将表达式中的 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 看成 $x$ 的函数，再对 $x$ 求导即可求得 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

(2) 参数方程所确定的函数的求导 数学一 数学二

设由参数方程 $\{\begin{array}{l}x={\phi }^{\prime }(t)\\ y={\psi }^{\prime }(t)\end{array}$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数，其中 $\phi (t),\psi (t)$ 均二阶可导，且 $\phi (t)\ne 0$，则

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}& =\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)};\\ \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)})=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)})\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\\ & =\frac{{\psi }^{″}(t){\phi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t){\phi }^{″}(t)}{{\phi }^{\prime 2}(t)}\cdot \frac{1}{{\phi }^{\prime }(t)}\\ & =\frac{{\psi }^{″}(t){\phi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t){\phi }^{″}(t)}{{\phi }^{\prime 3}(t)}\end{array}$$

(3) 幂指函数的求导

形如 $y=u(x{)}^{v(x)}(u(x>0))$ 形式的函数称幂指函数。其求导方法有：

① 对数求导法

将 $y=u(x{)}^{v(x)}$ 两取对数得

$$\ln y=v(x)\ln u(x)$$

方程两边对 $x$ 求导，得

$$\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=v^{\prime }(x)\ln u(x)+v(x)\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}$$

从而得

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}& =y[v^{\prime }(x)\ln u(x)+v(x)\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}]\\ & =u(x{)}^{v(x)}[v^{\prime }(x)\ln u(x)+v(x)\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}]\end{array}$$

②

利用对数恒等式将幂指函数 $y=u(x{)}^{v(x)}$ 化成 $y=e^{v(x)\ln u(x)}$，然后利用复合函数求导法则，得

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}& =e^{v(x)\ln u(x)}[v^{\prime }(x)\ln u(x)+v(x)\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}]\\ & =u(x{)}^{v(x)}[v^{\prime }(x)\ln u(x)+v(x)\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}]\end{array}$$

(4) 分段函数的求导

分段函数在各个区间段内的导数应用导数的运算法则求，而在分段点的导数一定要用导数的定义讨论，具体分两种情况：

① 当分段函数在分段点的两侧表达式相同时，应用该点处的导数定义求；

② 当分段函数在分段点的两侧表达式不同时，要分别求该点处的左（右）导数，当该点处的左、右导数存在且相等时，函数在该分段点可导，且导数值等于该点的左（右）导数，否则函数在该分段点不可导。

5. 函数的微分

(1) 定义

设函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，当自变量在 $x_0$ 处取得増量 $\mathrm{\Delta }x$ 且 $x_0+\mathrm{\Delta }x\in U(x_0)$ 时，如果函数 $f(x)$ 相应的増量 $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$ 可以表示为

$$\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$$

其中 $A$ 是与 $\mathrm{\Delta }x$ 无关的常数，则称函数 $y=f(x)$ 在点 $x=x_0$ 是可微的，并称 $A\mathrm{\Delta }x$ 为函数 $y=f(x)$ 在点 $x=x_0$ 的微分，记作 $\mathrm{d}y$，即 $\mathrm{d}y=A\mathrm{\Delta }x$。又因自变量的增量 $\mathrm{\Delta }x$ 等于自变量的微分 $\mathrm{d}x$，于是 $\mathrm{d}y$ 又写成 $\mathrm{d}y=A\mathrm{d}x$。

(2) 可导与可微的关系

函数 $y=f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处可导 $\iff$ 函数 $y=f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处可微。

此时，$A=f^{\prime }(x_0)$，而 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x=f^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x(\mathrm{\Delta }x=\mathrm{d}x)$

(3) 基本初等函数的微分公式与微分运算法则

① 基本初等函数的微分法

对于函数 $y=f(x)$，由于 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x$，为了便于对照、记忆，将基本初等函数的导数公式、微分公式，函数的和、差、积、商的求导法则、微分法则，列表如表1-1，1-2所示。

表1-1 基本初等函数的导数、微分公式

$C^{\prime }=0(C\mathrm{为}\mathrm{常}\mathrm{数})$	$\mathrm{d}C=0(C\mathrm{为}\mathrm{常}\mathrm{数})$
$(x^{\mu }{)}^{\prime }=\mu x^{\mu -1}$	$\mathrm{d}(x^{\mu })=\mu x^{\mu -1}\mathrm{d}x$
$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$	$\mathrm{d}(a^x)=a^x\ln a\mathrm{d}x$
$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}(a>0\mathrm{且}a\ne 1)$	$\mathrm{d}({\log }_{a}x)=\frac{1}{x\ln a}\mathrm{d}x(a>0\mathrm{且}a\ne 1)$
$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$	$\mathrm{d}(\ln x)=\frac{1}{x}\mathrm{d}x$
$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$	$\mathrm{d}(\sin x)=\cos x\mathrm{d}x$
$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$	$\mathrm{d}(\cos x)=-\sin x\mathrm{d}x$
$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$	$\mathrm{d}(\tan x)={\sec }^{2}x\mathrm{d}x$
$(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$	$\mathrm{d}(\cot x)=-{\csc }^{2}x\mathrm{d}x$
$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$	$\mathrm{d}(\sec x)=\sec x\tan x\mathrm{d}x$
$(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$	$\mathrm{d}(\csc x)=-\csc x\cot x\mathrm{d}x$
$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\mathrm{d}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$
$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\mathrm{d}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$
$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$	$\mathrm{d}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$
$(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$	$\mathrm{d}(arccotx)=-\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$

表1-2 函数和、差、积、商的求导法则和微分法则

$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$	$\mathrm{d}(u\pm v)=\mathrm{d}u\pm \mathrm{d}v$
$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$	$\mathrm{d}(uv)=v\mathrm{d}u+u\mathrm{d}v$
$(Cu{)}^{\prime }=C{u}^{\prime }$	$\mathrm{d}(Cu)=C\mathrm{d}u$
$(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}(v\ne 0)$	$\mathrm{d}(\frac{u}{v})=\frac{v\mathrm{d}u-u\mathrm{d}v}{v^2}(v\ne 0)$

② 复合函数的微分法

设 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 都可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 的微分为

$$\mathrm{d}y=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f^{\prime }(u)\mathrm{d}g(x)=f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$$

无论 $u$ 是自变量还是中间变量，都有 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$，这一性质称为微分形式不变性。