四、不定积分与定积分的计算

1. 换元积分法

(1) 不定积分的第一类换元法（也称凑微分法）

设 $f(u)$ 具有原函数 $F(x)$，$\phi (x)$ 可导，则

$$\begin{array}{rl}\int f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x& =\int f(\phi (x))\mathrm{d}\phi (x)\stackrel{\mathrm{记}\phi (x)=u}{=}\int f(u)\mathrm{d}u\\ & =F(u)+C=F(\phi (x))+C\end{array}$$

(2) 不定积分的第二类换元法（也称变量代换法）

设 $x=\psi (t)$ 是单调、可导函数，且 ${\psi }^{\prime }(t)\ne 0$，又设 $f(\psi (t)){\psi }^{\prime }(t)$ 具有原函数 $F(t)$，则

$$\begin{array}{rl}\int f(x)\mathrm{d}x& \stackrel{\mathrm{令}x=\psi (t)}{=}\int f(\psi (t)){\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t\\ & =F(t){|}_{t={\psi }^{-1}(x)}+C\\ & =F({\psi }^{-1}(x))+C\end{array}$$

其中 ${\psi }^{-1}(x)$ 是 $x=\psi (t)$ 的反函数。

(3) 定积分的换元积分法

设函数 $f(x)$在 $[a,b]$ 上连续，令 $x=\phi (t)$，如果 $\phi (t)$ 满足

① $\phi (\alpha )=a,\phi (\beta )=b$；

② $\phi (t)$ 在 $[a,b]$ 上具有连续导数，且 ${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$ ，则有定积分的换元公式

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$$

2. 分部积分法

(1) 不定积分的分部积分法

设 $u(x)$，$v(x)$ 具有连续导数，则分部积分公式为：

$$\int u{v}^{\prime }\mathrm{d}x=uv-\int v{u}^{\prime }\mathrm{d}x，\mathrm{或}\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$$

(2) 定积分的分部积分法

定积分的分部积分法与不定积分的分部积相比只是多了上、下限。

设 $u(x)$，$v(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有连续导数，则：

$${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x=u(x)v(x){|}_a^b-{\int }_a^{b}v(x)u^{\prime }(x)\mathrm{d}x$$

或

$${\int }_a^{b}u(x)\mathrm{d}v(x)=u(x)v(x){|}_a^b-{\int }_a^{b}v(x)\mathrm{d}u(x)$$

3. 有理函数的积分 数学一 数学二

(1) 有理函数的积分

两个多项式的商 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 称为有理函数。如果 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 是假分式，则可化为 $\frac{P(x)}{Q(x)}=w(x)+\frac{P_1(x)}{Q(x)}$（多项式＋真分式）形式，而真分式总可以化成如下四种类型的积分：

$$\begin{array}{rl}1)\int \frac{A}{x-a}\mathrm{d}x& =A\ln |x-a|+C\\ \\ 2)\int \frac{A}{(x-a{)}^n}\mathrm{d}x& =-\frac{A}{n-1}\frac{1}{(x-a{)}^{n-1}}+C(n\ne 1)\\ \\ 3)\int \frac{1}{(x^2+px+q{)}^n}\mathrm{d}x& =\int \frac{1}{{[(x+\frac{p}{2}{)}^2+\frac{4q-p^2}{4}]}^n}\mathrm{d}x\\ & \underset{\mathrm{记}\frac{4q-p^2}{4}=a^2}{\overset{\mathrm{令}x+\frac{p}{2}=u}{=}}\int \frac{1}{(u^2+a^2{)}^n}\mathrm{d}x\\ \\ 4)\int \frac{x+a}{(x^2+px+q{)}^n}\mathrm{d}x& =-\frac{1}{2(n-1)}\frac{1}{(x^2+px+q{)}^{n-1}}\\ & +(a-\frac{p}{2})\int \frac{1}{(x^2+px+q{)}^n}\mathrm{d}x\end{array}$$

其中 $p^2-4q<0$，即 $x^2+px+q$ 不能分解成两个一次式的乘积。

(2) 可化为有理函数的积分

① 三角函数有理式的积分

设 $R(\sin x,\cos x)$ 表示三角函数有理式，则通过万能代换可将

$$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x\underset{x=2\arctan t}{\overset{\mathrm{令}t=tan\frac{x}{2}}{=}}\int R(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\cdot \frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t$$

转化为 $t$ 的有理函数的积分。

② 简单无理函数的积分

被积函数为简单根式的有理函数，可通过根式代换化为有理函数的积分。如

$\int R(x,\sqrt[n]{ax+b})\mathrm{d}x$，令 $\sqrt[n]{ax+b}=t$；

$\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})\mathrm{d}x$，令 $\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t$；

$\int R(\sqrt[n]{ax+b},\sqrt[m]{ax+b})\mathrm{d}x$，令 $t=\sqrt[l]{ax+b}$，其中 $l$ 为 $m$，$n$ 的最小公倍数。