一、函数

• 1. 定义
• 2. 特性
  • (1) 有界性
  • (2) 单调性
  • (3) 周期性
  • (4) 奇偶性
• 3. 常见形式的函数
  • (1) 分段函数
  • (2) 反函数
  • (3) 复合函数
  • (4) 隐函数
  • (5) 参数方程确定的函数 数学一 数学三

1. 定义

给定一个实数集 $D$ 。如果对任意 $x\in D$，总有唯一确定的实数值 $y$ 根据对应法则 $f$ 与之对应，则称 $f$ 为定义在 $D$ 上的一个函数，记作

$$y=f(x),x\in D$$

其中$x$称为自变量，$D$ 称为函数 $f$ 的定义域，$y$ 称为因变量。函数值 $f(x)$ 的全体构成的集合称为函数$f$的值域，记作

$$f(D)=\{y|y=f(x),x\in D\}$$

2. 特性

(1) 有界性

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，数集 $X\subset D$。

• 如果存在数 $M_1$，使得对任意 $x\in X$，恒有 $f(x)\le M_1$，则称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上有上界，而 $M_1$ 称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上的一个上界。

• 如果存在数 $M_2$，使得对任意 $x\in X$，恒有 $f(x)\le M_2$，则称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上有下界，而 $M_2$ 称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上的一个下界。

• 如果 $f(x)$ 在 $D$ 上既有上界又有下界，则称 $f(x)$ 在 $D$ 上有界。

(2) 单调性

设函数 $f(x)$ 的定义域 $D$，区间 $I\subset D$。 如果对任意的 $x_1,x_2\in I$，当 $x_1<x_2$ 时，恒有

$$f(x_1)<f(x_2)(f(x_1)>f(x_2))$$

则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是单调增加的（单调减少的）。

(3) 周期性

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$。如果存在常数 $T＞0$，使得对任意 $x\in D(x\pm T\in D)$，有 $f(x+T)=f(x)$ 恒成立，则称 $f(x)$ 为* 周期函数*，$T$ 称为 $f(x)$ 的一个周期，通常周期函数的周期是指最小正周期。

(4) 奇偶性

设函数 $f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称，如果对任意 $x\in D$，恒有

$$f(-x)=f(x)\mathrm{或}f(-x)=-f(x)$$

则称$f(x)$为偶（奇）函数.

3. 常见形式的函数

(1) 分段函数

在定义域的不同区间上，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

常见的几种分段函数有：

1) 绝对值函数

$$y=|x|=\{\begin{array}{ll}x,& x>0\\ 0,& x=0\\ -x,& x<0\end{array}$$

2) 符号函数

$$y=\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{ll}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0\end{array}$$

3) 取整函数

$y=[x]$，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。

4) 狄利克雷函数

Dirichlet Function

$$y=D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& \mathrm{当}x\mathrm{为}\mathrm{有}\mathrm{理}\mathrm{数}\mathrm{时}\\ 0,& \mathrm{当}x\mathrm{为}\mathrm{无}\mathrm{理}\mathrm{数}\mathrm{时}\end{array}$$

5) 最大值函数

$$max\{f_1(x),f_2(x)\}=\{\begin{array}{ll}{f}_1(x),& \{x|f_1(x)\ge f_2(x)\}\\ f_2(x),& \{x|f_1(x)<f_2(x)\}\end{array}$$

6) 最小值函数

$$min\{f_1(x),f_2(x)\}=\{\begin{array}{ll}{f}_1(x),& \{x|f_1(x)\le f_2(x)\}\\ f_2(x),& \{x|f_1(x)>f_2(x)\}\end{array}$$

(2) 反函数

设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$，值域为 $W$。

如果对于 $W$ 内的每一个$y$，由 $y=f(x)$ 可以确定唯一的 $x\in D$ 与之对应，则称 $x$ 为定义在 $W$ 上以 $y$ 为自变量的函数，记为 $x=f^{-1}(y)$，并称 $x=f^{-1}(y)$ 为 $y=f(x)$ 的反函数，而 $y=f(x)$ 为 $x=f^{-1}(y)$ 的直接函数。

(3) 复合函数

设函数 $y=f(u)$ 的定义域为 $D_f$，函数 $u=\phi (x)$的定义域为 $D_{\phi }$，值域是 $R_{\phi }$，若函数 $D_{\phi }\cap R_{\phi }\ne \varnothing$（$\varnothing$表示空集），则称函数 $y=f[\phi (x)],x\in D_{\phi }$ 为由函数 $u=\phi (x)$ 与函数 $y=f(u)$ 构成的复合函数，其中 $x$ 为自变量，$u$ 称为中间变量。

(4) 隐函数

在一定条件下，如果对某数集 $D$ 内的任意 $x$ 满足二元方程 $F(x,y)=0$，由方程 $F(x,y)=0$ 可确定唯一的 $y$ 与之对应，则称由 $F(x,y)=0$ 确定了一个隐函数。

(5) 参数方程确定的函数 数学一 数学三

由参数方程

$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t),\end{array}$$

确定的 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系，称为由参数方程确定的函数。