三、函数的连续与间断

• 1. 连续
  • (1) 函数在一点处连续
  • (2) 左（右）连续
  • (3) 函数在一点处连续和左（右）连续的关系
  • (4) 函数在区间(a,b)连续
• 2. 间断点
  • (1) 间断点的定义
  • (2) 间断点的类型
  • 2）第二类间断点
• 3. 连续函数的性质
  • (1)
  • (2) 连续函数的反函数仍然连续
  • (3)
  • (4) 初等函数的连续性
• 4. 闭区间上的连续函数的性质
  • (1) 有界性定理
  • (2) 最值定理
  • (3) 介值定理
  • (4) 零点定理

1. 连续

(1) 函数在一点处连续

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，当自变量 $x$ 在该邻域内从 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$ 时，相应得到函数增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，如果 $\underset{\Delta x\to 0}{lim}\Delta y=0$，则称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

(2) 左（右）连续

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的左（右）邻域内（包含点 $x_0$ ）有定义，如果$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=f(x_0)（\mathrm{或}\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=f(x_0)）$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处左（右）连续。

(3) 函数在一点处连续和左（右）连续的关系

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)\iff \underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=f(x_0)$$

(4) 函数在区间(a,b)连续

如果函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内每一点处都连续，则称函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续；

如果函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，且$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=f(a),\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$，则称函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。

2. 间断点

(1) 间断点的定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，如果 $f(x)$ 有下列三种情形之一：

• ① 在 $x=x_0$ 处没有定义；
• ② 虽在 $x=x_0$ 处有定义，但$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$不存在；
• ③ 虽在 $x=x_0$ 处有定义，且$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$存在，但$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\ne f(x_0)$，则称点 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的不连续点或间断点。

(2) 间断点的类型

1）第一类间断点：

如果点 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的间断点，且左、右极限都存在，则称点 $x_0$ 为 $f(x)$ 的第一类间断点。 第一类间断点包括：

① 可去间断点

$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)\ne f(x_0)$，即左、右极限存在且相等但不等于 $f(x_0)$ 的间断点。

② 跳跃间断点

$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$，即左、右极限存在但不相等的间断点。

2）第二类间断点

除第一类间断点之外的间断点，常见的有：

① 无穷间断点

如果$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\infty$ 或 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)$ 与 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$ 中至少有一个为 $\infty$，则称点 $x_0$ 为 $f(x)$ 的无穷间断点。

② 振荡间断点

如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 不存在，且当 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 在两个常数之间变动无限多次，则称点 $x_0$ 为 $f(x)$ 的振荡间断点。

3. 连续函数的性质

(1)

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $x_0$ 连续，则它们的和（差）$f(x)\pm g(x)$、积 $f(x)g(x)$ 及商 $\frac{f(x)}{g(x)}（\mathrm{当}g(x_0)\ne 0\mathrm{时}）$ 都在点 $x_0$ 连续。

(2) 连续函数的反函数仍然连续

(3)

设函数 $u=g(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，则函数 $y=f(u)$ 在 $u=u_0=g(x_0)$ 处连续，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 在 $x=x_0$ 处也连续，即

$$\underset{x\to x_0}{lim}f[g(x)]=f[\underset{x\to x_0}{lim}g(x)]=f(u_0)=f[g(x_0)]$$

(4) 初等函数的连续性

初等函数（包括基本初等函数）在其定义域内的区间内都是连续的。

4. 闭区间上的连续函数的性质

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则它具有以下性质：

(1) 有界性定理

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。

(2) 最值定理

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有最大值和最小值。

(3) 介值定理

对于介于 $f(a)$ 与 $f(b)$（$f(a)\ne f(b)$）之间的任意一个常数$c$，在开区间 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi )=c(a<\xi <b)$。

推论： 对于介于 $f(x)$ 的最大值 $M$ 与最小值 $m$ $（M\ne m）$之间的任意一个常数$c$，在开区间 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi )=c(a<\xi <b)$。

(4) 零点定理

设 $f(a)f(b)<0$，则在开区间$(a,b)$内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi )=0$。