一、不定积分

1. 原函数与不定积分的定义

原函数

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，如果存在函数 $F(x)$，使得

$$F^{\prime }(x)=f(x)\mathrm{或}\mathrm{d}F(x)=f(x)\mathrm{d}x,x\in I$$

则称函数 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。$F(x)+C$ 就是 $f(x)$ 的所有原函数。

不定积分

在区间 $I$ 上，$f(x)$的不定积分为 $f(x)$ 的所有原函数 $F(x)+C$，记为 $\int f(x)\mathrm{d}x$，即

$$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$$

其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，$C$是任意常数。

2. 原函数存在定理

如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上存在原函数，即在区间 $I$ 上存在不定积分，故连续函数一定存在原函数与不定积分。

3. 不定积分的几何意义

如果 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)$，则 $y=F(x)$ 的图形称为 $f(x)$ 的一条积分曲线，而 $y=F(x)+C$ 的图形称为 $f(x)$ 的积分曲线族。

4. 基本积分公式

$$\begin{array}{rl}(1)\int k\mathrm{d}x& =kx+C(k\mathrm{是}\mathrm{常}\mathrm{数})\\ \\ (2)\int x^{\mu }\mathrm{d}x& =\frac{1}{\mu +1}{x}^{\mu +1}(\mu \ne -1)，\mathrm{特}\mathrm{别}\mathrm{地}，\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C\\ \\ (3)\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x& =\ln |x|+C\\ \\ (4)\int a^x\mathrm{d}x& =\frac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\ne 1)，\mathrm{特}\mathrm{别}\mathrm{地}，\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C\\ \\ (5)\int \sin x\mathrm{d}x& =-\cos x+C\\ \\ (6)\int \cos x\mathrm{d}x& =\sin x+C\\ \\ (7)\int \tan x\mathrm{d}x& =-\ln |\cos x|+C\\ \\ (8)\int \cot x\mathrm{d}x& =\ln |\sin x|+C\\ \\ (9)\int \sec x\mathrm{d}x& =\ln |\sec x+\tan x|+C\\ \\ (10)\int \csc x\mathrm{d}x& =\ln |\csc x-\cot x|+C\\ \\ (11)\int se{c}^{2}x\mathrm{d}x& =\tan x+C\\ \\ (12)\int cs{c}^{2}x\mathrm{d}x& =-\cot x+C\\ \\ (13)\int \sec x\tan x\mathrm{d}x& =\sec x+C\\ \\ (14)\int \csc x\cot x\mathrm{d}x& =-\csc x+C\\ \\ (15)\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x& =\arcsin \frac{x}{a}+C\\ \\ (16)\int \frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x& =\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C\\ \\ (17)\int \frac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x& =\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C\\ \\ (18)\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\mathrm{d}x& =\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C\\ \end{array}$$

5. 不定积分的性质

设 $f(x)$，$g(x)$ 和 $f^{\prime }(x)$ 在区间 $I$ 上连续，则

$$\begin{array}{rl}& (1)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int f(x)\mathrm{d}x=f(x)，\mathrm{d}\int f(x)\mathrm{d}x=f(x)\mathrm{d}x\\ \\ & (2)\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C，\int \mathrm{d}f(x)=f(x)+C\\ \\ & (3)\int [f(x)\pm g(x)]\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x\pm \int g(x)\mathrm{d}x\\ \\ & (4)\int kf(x)\mathrm{d}x=k\int f(x)\mathrm{d}x(k\ne 0)\\ \end{array}$$