二、定积分

1. 定积分的定义

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有定义且有界，作下面 $4$ 步：

(1) 分割

在 $[a,b]$ 中任意插入 $n-1$ 个分点，

$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{i-1}<x_i<\cdots <x_n=b$$

把 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间 $[x_{i-1},x_i](i=1,2,\cdots ,n)$，用 $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$ 表示区间 $[x_{i-1},x_i](i=1,2,\cdots ,n)$ 的长度。

(2) 作乘积

在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上任取一点 ${\xi }_i(x_{i-1}\le {\xi }_i\le x_i)$，作乘积

$$f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i(i=1,2,\cdots ,n)$$

(3) 求和

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$

(4) 取极限

$$\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i，\mathrm{其}\mathrm{中}\lambda =max\{\mathrm{\Delta }{x}_1,\mathrm{\Delta }{x}_2,\cdots ,\mathrm{\Delta }{x}_n\}$$

如果不论对 $[a,b]$ 怎么划分，也不论在 $x_{i-1},x_i$ 上怎么选取点 $\xi$，只要极限 $\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$ 存在，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，而此极限值就称为 $f(x)$ 在 $[a,b]$上的定积分，记为${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$，即

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$

其中 $f(x)$ 叫做被积函数，$f(x)\mathrm{d}x$ 叫做被积表达式，$x$ 叫做积分变量，$a$ 叫做积分下限，$b$ 叫做积分上限，$[a,b]$ 叫做积分区间。

2. 定积分存在定理

(1) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，即 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 存在。

(2) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，即 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 存在。

3. 定积分的几何意义

(1) 在 $[a,b]$ 上，当 $f(x)\ge 0$ 时，定积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 表示由曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=a$、$x=b$ 以及 $x$ 轴所围成的曲边梯形的面积 $A$，即

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

(2) 在 $[a,b]$ 上，当 $f(x)\le 0$ 时，定积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 表示由曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=a$、$x=b$ 以及 $x$ 轴所围成的曲边梯形的面积 $A$ 的负值，即

$$A=-{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

(3) 在 $[a,b]$ 上，当 $f(x)$ 有正有负时，定积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 表示由曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=a$、$x=b$ 以及 $x$ 轴所围成的各个部分面积的代数和，而此时各个部分的面积和为

$${\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$$

4. 定积分的性质

假定以下所列出的定积分都是存在的。

(1) 当 $a=b$ 时，

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=0$$

(2) 当 $a>b$ 时，

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x$$

(3)

$${\int }_a^b[f(x)\pm g(x)]\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\pm {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$$

(4)

$${\int }_a^{b}kf(x)\mathrm{d}x=k{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

(5)

$${\int }_a^{b}1\mathrm{d}x=b-a$$

(6)

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

(7) 如果在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)\ge 0$，则

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\ge 0(a<b)；$$

如果在区间 $[a,b]$ 上，$f(x)\le g(x)$，则

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\le {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x(a<b)；$$$$|{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x|\le {\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x(a<b)$$

(8) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值 $M$ 与最小值 $m$，则

$$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\le M(b-a)(a<b)；$$

(9) 定积分中值定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则至少存在一点 $\xi \in [a,b]$，使

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi )(b-a)$$