一、事件、样本空间、事件间的关系与运算

1. 随机试验

对随机现象进行观察或实验，如果其具有以下特点：

(1) 在相同的条件下可以重复地进行；

(2) 所得的可能结果不止一个，且所有可能结果都能事前可知；

(3) 进行一次试验之前不能确定出现哪种结果。

在概率论中，将具有上述三个特点的试验称为随机试验，记作 $E$。

2. 样本空间

样本空间为随机试验 $E$ 的所有可能结果组成的集合，记作 $S$。样本空间的元素，即 $E$ 的每个结果，称为样本点。

3. 随机事件

样本空间的子集称随机事件，简称事件，常用字母 $A,B,C$ 等表示。

(1) 基本事件：由一个样本点组成的单点集。

(2) 必然事件：$S$ 是 $S$ 的子集，在每次试验中它总是发生。

(3) 不可能事件：$\varnothing$ 作为 $S$ 的子集，在每次试验中都不发生。

4.事件之间的关系与事件的运算

(1) 事件之间的关系

① 包含：若 $A\subset B$，则称事件 $B$ 包含事件 $A$，即事件 $A$ 发生必导致事件 $B$ 发生。

② 相等：若 $A\subset B$ 且 $B\subset A$，则称事件 $A$ 与事件 $B$ 相等，记 $A=B$。

③ 互斥：若 $A\cap B=\varnothing$，则称事件 $A$ 与事件 $B$ 是互斥的，即事件 $A$ 与事件 $B$ 不能同时发生。基本事件是两两互斥的。

④ 对立：若 $A\cup B$ 且 $A\cap B=0$，则称事件 $A$ 与事件 $B$ 互为对立事件。即事件 $A$，$B$ 中必有一个发生，且仅有一个发生。$A$ 的对立事件记为 $\bar{A}$，即 $\bar{A}=S-A=B$，$\bar{B}=S-B=A$。

(2) 事件的运算

① 和事件：事件 $A\cup B=\{x|x\in A\mathrm{或}x\in B\}$ 称为事件 $A$ 与事件 $B$ 的和事件。当 $A,B$ 中至少有一个发生时，事件 $A\cup B$ 发生。

② 积事件：事件 $A\cap B=\{x|x\in A\mathrm{且}x\in B\}$ 称为事件 $A$ 与事件 $B$ 的积事件，当且仅当 $A,B$ 同时发生时，事件 $A\cap B$ 发生。$A\cap B$ 也记作 $AB$。

③ 差事件：事件 $A-B=\{x|x\in A\mathrm{且}x\in B\}$ 称事件 $A$ 与事件 $B$ 的差事件。当且仅当 $A$ 发生，$B$ 不发生时，事件 $A-B$ 发生。显然 $A-B=A\bar{B}$。

(3) 事件的运算律

① 交换律：

$$\begin{array}{r}A\cup B=B\cup A\\ \\ A\cap B=B\cap A\end{array}$$

② 结合律：

$$\begin{array}{r}A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\\ \\ A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\end{array}$$

③ 分配律：

$$\begin{array}{r}A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\\ \\ A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\end{array}$$

④ 对偶律：

$$\begin{array}{r}\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}\\ \\ \overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}\end{array}$$