四、非齐次线性方程组

1. 解的存在性的判定

(1) 非齐次线性方程组 ${\mathbf{A}}_{m\times n}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解 $\iff$ 当且仅当 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A}⋮\mathbf{b})=n$ 时，方程组有唯一解；

当 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A}⋮\mathbf{b})<n$ 时，方程组有无穷多解；

(2) ${\mathbf{A}}_{m\times n}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 无解 $\iff$ $R(\mathbf{A})<R(\mathbf{A}⋮\mathbf{b})$。

2. 解的性质

设非齐次线性方程组为

$$\begin{array}{rlr}& {\mathbf{A}}_{m\times n}\mathbf{x}=\mathbf{b},& (2.12)\end{array}$$

其对应的齐次线性方程组为

$$\begin{array}{rlr}& {\mathbf{A}}_{m\times n}\mathbf{x}=\mathbf{0},& (2.13)\end{array}$$

则：

(1) 如果 $\mathbf{x}={\mathbf{\eta }}_1,\mathbf{x}={\mathbf{\eta }}_2$ 都是 $(2.12)$ 的解，则 $\mathbf x = \mathbf η_1 - \mathbf η_2 $ 为 $(2.13)$ 的解；

(2) 如果 $\mathbf{x}=\mathbf{\eta }$ 是 $(2.12)$ 的解，$\mathbf{x}=\mathbf{\xi }$ 是 $(2.13)$ 的解，则 $\mathbf{x}=\mathbf{\eta }+\mathbf{\xi }$ 仍是 $(2.12)$ 的解。

3. 解的结构

如果 $R(\mathbf{A}⋮\mathbf{b})=R(\mathbf{A})=r<n$，则 ${\mathbf{A}}_{m\times n}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的通解为

$$\mathbf{x}=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_{n-r}{\xi }_{n-r}+\mathbf{\eta }$$

其中 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_{n-r}$ 为其对应齐次方程组的基础解系，$\mathbf{\eta }$ 为其本身的一个特解。