三、极大线性无关组、秩

1. 定义

(1) 极大线性无关组与积

设向量组 $A$，如果在 $A$ 中能选出 $r$ 个向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$，满足

① 向量组 $A_0:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$，线性无关；

② 向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量（如果 $A$ 中有 $r+1$ 个向量）都线性相关，则称向量组 $A_0$ 是向量组 $A$ 的一个极大线性无关组。

(2) 极大线性无关组的等价定义

设向量组 $A_0:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$，是向量组 $A$ 的一个部分组，且满足：

① 向量组 $A_0$ 线性无关；

② 向量组 $A$ 的任一向量都能由向量组 $A_0$ 线性表出，则称向量组 $A_0$ 是向量组 $A$ 的一个极大线性无关组。

2. 向量组的秩与矩阵的秩的关系

设 $\mathbf{A}$ 是 $m\times n$ 矩阵，将 $\mathbf{A}$ 列分块以及行分块，得

$$\begin{array}{rl}\mathbf{A}& =\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\\ \\ & =({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\\ \\ & =\left[\begin{array}{c}{\mathbf{\beta }}_1^T\\ {\mathbf{\beta }}_2^T\\ ⋮\\ {\mathbf{\beta }}_m^T\end{array}\right]\end{array}$$

$\mathbf{A}$ 的列向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 的秩称 $\mathbf{A}$ 的列秩，记作 $R({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)$；

$\mathbf{A}$ 的行向量组 ${\mathbf{\beta }}_1^T,{\mathbf{\beta }}_2^T,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_m^T$ 的秩称为 $\mathbf{A}$ 的行秩，记作 $R({\mathbf{\beta }}_1^T,{\mathbf{\beta }}_2^T,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_m^T)$。

矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩与行秩和列秩相等。

3. 向量组的极大线性无关组与秩的求法

(1) 当向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 是列向量组时，将其列构成矩阵。记 $\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)$。

(2) 利用初等行变换，将 $\mathbf{A}$ 化阶梯形矩阵 $\mathbf{B}$ 即

$$\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)\stackrel{\mathrm{初}\mathrm{等}\mathrm{行}\mathrm{变}\mathrm{换}}{\to \cdots \cdots \to }\mathbf{B}=({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_m)$$

则：

① 向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 与 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_m$ 具有相同的线性相关性；

② 若 ${{\mathbf{\beta }}_{\mathbf{i}}}_1,{{\mathbf{\beta }}_{\mathbf{i}}}_2,\cdots ,{{\mathbf{\beta }}_{\mathbf{i}}}_r$ 是 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_m$ 的极大线性无关组，则 ${{\mathbf{\alpha }}_{\mathbf{i}}}_1,{{\mathbf{\alpha }}_{\mathbf{i}}}_2,\cdots ,{{\mathbf{\alpha }}_{\mathbf{i}}}_r$ 是 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 的极大线性无关组；

③ 向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 与 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_m$ 中任何对应的列向量组具有相同的线性相关性。