四、行列式按行（列）展开

1. 代数余子式

在 $n$ 阶行列式中，划去 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列的元素后，由剩下的 $n-1$ 阶行列式叫做 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$ ；记

$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$

$A_{ij}$ 叫做 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 的代数余子式。

2. 行列式按行（列）展开公式

行列式的值等于它的任何一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

$$\begin{array}{rlr}D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}(i=1,2,\cdots ,n)& & (2.1)\\ \\ \mathrm{或}D=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj}(j=1,2,\cdots ,n)& & (2.2)\end{array}$$

称 $(2.1)$ 式为行列式按第 $i$ 行展开式， 称 $(2.2)$ 式为行列式按第 $j$ 列展开式。

推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的相应元素的代数余子式两两乘积之和为 $0$ 。