二、离散型随机变量和连续型随机变量

1. 离散型随机变量

(1) 定义

如果一个随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可数无限多个，则称它为离散型随机变量。

(2) 离散型随机变量X的分布

设离散型随机变量 $X$ 所有可能取的值为 $x_k(k=1,2,\cdots ,n)$，$X$ 取各个可能值的概率

$$P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,\cdots ,$$

满足：

① $p_k\ge 0,k=1,2,\cdots$；

② ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_k=1}$；

称上式为离散型随机变量 $X$ 的分布律。分布律也可以用表格的形式来表示如下：

$$\begin{array}{cccccc}X& x_1& x_2& \cdots & x_n& \cdots \\ P& p_1& p_2& \cdots & p_n& \cdots \end{array}$$

(3) 离散型随机变量X的分布函数

$$\begin{array}{rl}F(x)& =P\{X\le x\}\\ \\ & =\sum _{x_k\le x}P\{X=x_k\}\\ \\ & =\sum _{x_k\le x}{p}_k\end{array}$$

(4) 常用的离散型随机变量的分布

① 0—1分布

设随机变量 $X$ 只可能取 $0$ 与 $1$ 两个值，分布律是

$$P\{X=k\}=p^k(1-p{)}^{1-k},k=0,1(0<p<1)$$

则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的 $0—1$ 分布或两点分布。

0—1分布的分布律也可写成

$$\begin{array}{cccc}X& 0& 1& \\ P_k& 1-p& p\end{array}$$

② 二项分布

随机变量 $X$ 在 $n$ 重伯努利试验中，事件 $A$ 发生 $k$ 次的概率

$$P\{X=k\}=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\dots ,n$$

称为随机变量 $X$ 服从参数为 $n$，$p$ 的二项分布，记为 $X\sim b(n,p)$。

特别地，当 $n=1$ 时二项分布即 $0—1$ 分布。

③ 几何分布

如果随机变量 $X$ 的分布律为

$$P\{X=k\}=p{q}^{k-1},k=1,2,\cdots ,$$

其中 $0<p<1$，$q=1-p$，则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布，或称 $X$ 具有几何分布。

④ 超几何分布

如果随机变量 $X$ 的分布律为

$$\begin{array}{rl}P\{X=k\}& =\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n},\\ \\ k& =0,1,2,\cdots ,min(M,n)\end{array}$$

则称 $X$ 服从参数 $n,M,N$ 的超几何分布，记为 $X\sim H(n,M,N)$。

⑤ 泊松分布

如果随机变量 $X$ 的分布律为

$$P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},k=0,1,2,\cdots ,$$

其中 $\lambda >0$ 是常数，则称随机变量 $X$ 服以参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记为 $X\sim P(\lambda )$。

2. 连续型随机变量

(1) 定义

如果对于随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$，存在函数 $f(x)$，使对于任意实数 $x$，有

$$F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)dt,-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$$

则称 $X$ 为连续型随机变量，函数 $f(x)$ 称为 $X$ 的概率密度。

(2) 性质

① $f(x)\ge 0$；

② ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=1}$；

③ 对于任意实数 $x_1<x_2$，

$$P\{x_1<X\le x_2\}={\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx$$

④ 在 $f(x)$ 的连续点有 $F^{\prime }(x)=f(x)$。

(3) 常用的连续型随机变量的分布

① 均匀分布

若概率密度为

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{b-a},}& a<x<b,\\ \\ 0,& \mathrm{其}\mathrm{他},\end{array}$$

则称 $X$ 在区间 $(a,b)$ 上服从均匀分布，记为 $X\sim U(a,b)$。

② 正态分布

若概率密度为

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$$

其中 $\mu ,\sigma (\sigma >0)$ 为常数，则称 $X$ 服从参数为 $\mu ,\sigma$ 的正态分布，记为 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$

特别地，当 $\mu =0$，${\sigma }^2=1$ 时称随机变量 $X$ 服从标准正态分布，记为 $X\sim N(0,1)$，其概率密度和分布函数分别用 $\phi (x)$，$\mathrm{\Phi }(x)$ 表示：

$$\begin{array}{rl}\phi (x)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}},\\ \\ \mathrm{\Phi }(x)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt\end{array}$$

③ 指数分布

若概率密度为

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0,\\ \\ 0,& x\le 0,\end{array}$$

其中 $\lambda >0$，则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记为 $X\sim E(\lambda )$。