三、随机变量的函数的分布

1. 离散型随机变量的函数的分布

设 $X$ 是离散型随机变量，其分布律为

$$\begin{array}{cccccc}X& x_1& x_2& \cdots & x_n& \cdots \\ P_k& p_1& p_2& \cdots & p_n& \cdots \end{array}$$

若 $Y=\phi (X)$，则 $Y$ 的分布律为

$$\begin{array}{cccccc}Y& \phi (x_1)& \phi (x_2)& \cdots & \phi (x_n)& \cdots \\ P_k& p_1& p_2& \cdots & p_n& \cdots \end{array}$$

如果 $\{\phi (x_i)\}$ 中有相同的数值，只需列出一个，并将相应的概率相加作为 $\phi (x_i)$ 取该值的概率。

2. 连续型随机变量的函数的分布

设随机变量 $X$ 是一个具有概率密度 $f_X(x),-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$，又设函数 $g(x)$ 处处可导且单调，则 $Y=g(X)$ 的概率密度为

$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{f}_X[h(y)]|h^{\prime }(y)|,& \alpha <y<\beta ,\\ \\ 0,& \mathrm{其}\mathrm{他},\end{array}$$

其中，$\alpha =min[g(-\mathrm{\infty }),g(+\mathrm{\infty })]$，$\beta =max[g(-\mathrm{\infty }),g(+\mathrm{\infty })]$，$h(y)$ 是 $g(x)$ 的反函数。