二、二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布

1. 二维离散型随机变量的分布律

(1) 定义

如果二维随机变量 $(X,Y)$ 有有限对或可列无限对的全部可能取值，则称 $(X,Y)$ 二维离散型随机变量。

(2) 分布律

设二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 所有可能取值为 $(x_i,y_j)(i,j=1,2,\cdots )$，$(X,Y)$ 取各可能值的概率

$$P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdots ,$$

满足：

① $p_{ij}\ge 0,i,j=1,2,\cdots$；

② ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}=1}$。

称上式为二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的分布律或 $X,Y$ 的联合分布律。分布律也可以用表格的形式来表示如下：

$X$ \ $Y$	$y_1$	$y_2$	$\cdots$	$y_i$	$\cdots$
$x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$	$\cdots$	$p_{1j}$	$\cdots$
$x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$	$\cdots$	$p_{2j}$	$\cdots$
$⋮$	$⋮$	$⋮$		$⋮$
$x_i$	$p_{i1}$	$p_{i2}$	$\cdots$	$p_{ij}$	$\cdots$
$⋮$	$⋮$	$⋮$		$⋮$

2. 二维离散型随机变量的边缘分布

设二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的分布律为 $P\{X=x_i,Y=y_1\}=p_{ij}$，则

(1)

$(X,Y)$ 关于 $X$ 的边缘分布律为

$$p_{i\cdot }=P\{X=x_i\}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij},i=1,2,\cdots ;$$

$(X,Y)$ 关于 $Y$ 的边缘分布律为

$$p_{\cdot j}=P\{Y=y_i\}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij},j=1,2,\cdots ;$$

(2)［数学三］

$(X,Y)$ 关于 $X$ 的边缘分布函数为

$$F_X(x)=F(x,\mathrm{\infty })=\sum _{x_i\le x}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}$$

$(X,Y)$ 关于 $Y$ 的边缘分布函数为

$$F_Y(y)=F(\mathrm{\infty },y)=\sum _{y_i\le y}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}$$

3. 二维离散型随机变量的条件分布

设 $(X,Y)$ 是二维离散型随机变量，对给定的 $j$，如果 $P\{Y=y_j\}>0$，则称

$$P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot }j}$$

$i=1,2,\cdots$ 为在 $Y=y_j$ 条件下随机变量 $X$ 的条件分布律。