四、向量的内积、长度及正交性

1. 向量的内积

(1) 定义

设有 $n$ 维向量 $\mathbf{\alpha }=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]$ 及 $\mathbf{\beta }=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]$，令 $[\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }]={\mathbf{\alpha }}^T\mathbf{\beta }={\mathbf{\beta }}^T\mathbf{\alpha }=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$，则称 $[\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }]$为向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 的内积。

(2) 性质

设 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }$ 为 $n$ 维向量，$\lambda$ 为实数。

1. $[\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }]=[\mathbf{\beta },\mathbf{\alpha }]$（对称性）；

2. $[\lambda \mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }]=\lambda [\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }]$（线性性）；

3. $[\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }]=[\mathbf{\alpha },\mathbf{\gamma }]+[\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }]$（线性性）；

4. 当 $\mathbf{\alpha }=0$ 时，$[\mathbf{\alpha },\mathbf{\alpha }]=0$；当 $\mathbf{\alpha }\ne 0$时，$[\mathbf{\alpha },\mathbf{\alpha }]>0$（正定性）。

2. 向量长度（模）

(1) 定义

设有 $n$ 维向量 $\mathbf{\alpha }=(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^T$，令 $\parallel \mathbf{\alpha }\parallel =\sqrt{[\mathbf{\alpha },\mathbf{\alpha }]}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}$，$||\mathbf{\alpha }||$ 称向量 $\mathbf{\alpha }$ 的长度（或模）。

当$\parallel \mathbf{\alpha }\parallel =1$时，称 $\mathbf{\alpha }$ 为单位向量。

(2) 性质

① 非负性：当 $\mathbf{\alpha }\ne 0$ 时，$\parallel \mathbf{\alpha }\parallel >0$；当 $\mathbf{\alpha }=0$ 时，$||\mathbf{\alpha }||=0$；

② 齐次性：$||\lambda \mathbf{\alpha }||=|\lambda |||\mathbf{\alpha }||$（其中 $\lambda$ 是数）；

③ 三角不等式：$||\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }||\le ||\mathbf{\alpha }||+||\mathbf{\beta }||$；

④ 柯西 — 施瓦茨不等式：$|(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })|\le ||\mathbf{\alpha }||||\mathbf{\beta }||$。

3. 正交向量组

(1) 定义

1. 如果 $[\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }]=0$，则称向量 $\mathbf{\alpha }$ 与 $\mathbf{\beta }$ 正交。特别地，零向量与任何向量都正交。

2. 如果非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组。

(2) 性质

如果 $n$ 维向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 是正交向量组，则：${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 线性无关。

(3) 施密特正交化方法

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 是线性无关的向量组，取

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{\beta }}_1& ={\mathbf{\alpha }}_1;\\ \\ {\mathbf{\beta }}_2& ={\mathbf{\alpha }}_2-\frac{[{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2]}{[{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_1]}{\mathbf{\beta }}_1;\\ \\ & \cdots \cdots \cdots \\ \\ {\mathbf{\beta }}_r& ={\mathbf{\alpha }}_r-\frac{[{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\alpha }}_r]}{[{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_1]}{\mathbf{\beta }}_1-\frac{[{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\alpha }}_r]}{[{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_2]}{\mathbf{\beta }}_2\\ \\ & -\cdots -\frac{[{\mathbf{\beta }}_{r-1},{\mathbf{\alpha }}_r]}{[{\mathbf{\beta }}_{r-1},{\mathbf{\beta }}_{r-1}]}{\mathbf{\beta }}_{r-1}\end{array}$$

则 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_r$ 是正交向量，且 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_s$ 与 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ $(s=1,2,\cdots ,r)$ 等价。

再将 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_r$ 单位化，即

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{e}}_1& =\frac{{\mathbf{\beta }}_1}{||{\mathbf{\beta }}_1||},\\ {\mathbf{e}}_2& =\frac{{\mathbf{\beta }}_2}{||{\mathbf{\beta }}_2||},\\ & \cdots ,\\ {\mathbf{e}}_r& =\frac{{\mathbf{\beta }}_r}{||{\mathbf{\beta }}_r||}\end{array}$$

则 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_r$ 是规范（标准）正交向量组。

4. 正交矩阵

(1) 定义

若 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 满足 ${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}=\mathbf{E}$ （或 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^T=\mathbf{E}$），则称 $\mathbf{A}$ 是正交矩阵。

(2) 条件

① 如果 $\mathbf{A}$ 是正交矩阵，则 $|\mathbf{A}|=\pm 1$；

② $\mathbf{A}$ 是正交矩阵 $\iff$ $\mathbf{A}$ 的列（行）向量组是规范正交向量组 $\iff$ ${\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^T$；

③ 如果 $\mathbf{A}$ 是正交矩阵，则 ${\mathbf{A}}^T,{\mathbf{A}}^{-1},{\mathbf{A}}^{\ast }$ 也是正交矩阵；

④ 如果 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 是正交矩阵，则 $\mathbf{A}\mathbf{B}$ 仍是正交矩阵。

(3) 正交变换

设 $\mathbf{P}$ 是 $n$ 阶正交矩阵，$\mathbf{x},\mathbf{y}$ 是 $n$ 维向量，则 $\mathbf{x}=\mathbf{P}\mathbf{y}$ 称为正交变换。

正交变换不改变向量的长度，即

$$\begin{array}{rl}||\mathbf{x}||& =\sqrt{{\mathbf{x}}^T\mathbf{x}}\\ \\ & =\sqrt{(\mathbf{P}\mathbf{y}{)}^T\mathbf{P}\mathbf{y}}\\ \\ & =\sqrt{{\mathbf{y}}^T{\mathbf{P}}^T\mathbf{P}\mathbf{y}}\\ \\ & =\sqrt{{\mathbf{y}}^T\mathbf{y}}\\ \\ & =||\mathbf{y}||\end{array}$$