二、向量组的线性相关性

1. 线性相关与线性无关的定义

对向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$，若存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$ 使得

$$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m=0$$

则称向量组 $A$ 是线性相关的，否则称它线性无关。即当 $k_1=k_2=\cdots =k_m=0$ 时，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性无关。

2. 线性相关与线性无关的性质

(1) 向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m(m\ge 2)$ 线性相关

$\iff$ 向量组 $A$ 中至少有一个向量能由其余 $m-1$ 个向量线性表出。

向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m(m\ge 2)$ 线性无关

$\iff$ 向量组 $A$ 中任一向量都不能由其余 $m-1$ 个向量线性表出。

(2) 如果向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性相关，则向量组 $B:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m,{\mathbf{\alpha }}_{m+1},\cdots {\mathbf{\alpha }}_s$ 线性相关。反言之，如果向量组 $B$ 线性无关，则向量组 $A$ 也线性无关。

(3) 如果向量组 $A$：

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{\alpha }}_1=& \left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{12}\\ ⋮\\ a_{1s}\end{array}\right],\\ \\ {\mathbf{\alpha }}_2=& \left[\begin{array}{c}{a}_{21}\\ a_{22}\\ ⋮\\ a_{2s}\end{array}\right],\\ \\ & \cdots ,\\ \\ {\mathbf{\alpha }}_m=& \left[\begin{array}{c}{a}_{m1}\\ a_{m2}\\ ⋮\\ a_{ms}\end{array}\right],\\ \end{array}$$

线性无关，则向量组 $B$：

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{\beta }}_1=& \left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ ⋮\\ a_{1s}\\ a_{1s+1}\\ ⋮\\ a_{1t}\end{array}\right],\\ \\ {\mathbf{\beta }}_2=& \left[\begin{array}{c}{a}_{21}\\ ⋮\\ a_{2s}\\ a_{2s+1}\\ ⋮\\ a_{2t}\end{array}\right],\\ \\ & \cdots ,\\ \\ {\mathbf{\beta }}_2=& \left[\begin{array}{c}{a}_{m1}\\ ⋮\\ a_{ms}\\ a_{ms+1}\\ ⋮\\ a_{mt}\end{array}\right],\\ \end{array}$$

线性无关。

反言之，如果向量组 $B$ 线性相关，则向量组 $A$ 也线性相关。

(4) 设向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性无关，而向量组 $B:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m,\mathbf{\beta }$ 线性相关，则向量 $\mathbf{\beta }$ 必能由向量组 $A$ 线性表出，且表示方式唯一。

(5) 设有两个向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 及 $B:{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_l$

① 如果向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表出，且 $s>l$，则向量组 $A$ 线性相关；

② 如果向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表出，且向量组 $A$ 线性无关，则 $s\le l$。

3. 线性相关与线性无关的判定

向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性相关（线性无关）

$\iff$ 齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 有非零解（只有零解），其中

$$\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)$$

$\iff R(\mathbf{A})<m(R(\mathbf{A})=m)$。