六、两个随机变量的函数的分布

1. $Z=X+Y$ 的分布

设二维连续型随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y)$，则

(1) $Z=X+Y$ 的分布函数为

$$\begin{array}{rl}{F}_Z(z)& =\underset{x+y\le z}{\iint }f(x,y)dxdy\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^z[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(u-y,y)dy]du\end{array}$$

(2) $Z=X+Y$的概率密度为

$$f_Z(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(z-y,y)dy$$

或

$$f_Z(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,z-x)dx$$

(3) 当 $X,Y$ 相互独立时，有卷积公式

$$\begin{array}{rl}{f}_Z(z)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_X(z-y)f_Y(y)dx\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_X(x)f_Y(z-x)dx\end{array}$$

2. $Z=Y/X$ 的分布、$Z=XY$ 的分布

设二维连续型随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度 $f(x,y)$，则 $Z={\displaystyle \frac{Y}{X}}$，$Z=XY$ 的概率密度分别为

$$\begin{array}{rl}{f}_{\frac{Y}{Z}}(z)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|x|f(x,xz)dx，\\ \\ f_{XY}(z)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})dx\end{array}$$

当 $X,Y$ 相互独立时，有

$$\begin{array}{rl}{f}_{\frac{Y}{Z}}(z)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|x|f_X(x)f_Y(xz)dx，\\ \\ f_{XY}(z)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{|x|}{f}_X(x)f_Y(\frac{z}{x})dx\end{array}$$

3. $M=max\{X,Y\}$ 及 $N=min\{X,Y\}$ 的分布

设 $X,Y$ 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为 $F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$，则：

(1) $M=max\{X,Y\}$ 的分布函数为

$$\begin{array}{rl}{F}_{max}(z)& =P\{M\le z\}\\ & =P\{X\le z,Y\le z\}\\ & =P\{X\le z\}P\{Y\le z\}\\ & =F_X(z)F_Y(z)\end{array}$$

(2) $N=min\{X,Y\}$ 的分布函数为

$$\begin{array}{rl}{F}_{min}(z)& =P\{N\le z\}\\ & =1-P\{N>z\}\\ & =1-P\{X>z,Y>z\}\\ & =1-P\{X>z\}P\{Y>z\}\\ & =1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]\end{array}$$

一般地，设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是 $n$ 个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 $F_{X_i}(x_i)(i=1,2,\cdots ,n)$，则 $M=max\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$ 及 $N=min\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$ 的分布函数分别为

$$\begin{array}{rl}{F}_{max}(z)& =F_{X_1}(z)F_{X_2}(z)\cdots F_{X_n}(z),\\ \\ F_{min}(z)& =1-[1-F_{X_1}(z)][1-F_{X_2}(z)]\cdots [1-F_{X_n}(z)]\end{array}$$

特别地，当 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立且具有相同分布函数 $F(x)$ 时有

$$\begin{array}{rl}{F}_{max}(z)& =[F(z){]}^n,\\ \\ F_{min}(z)& =1-[1-F(z){]}^n\end{array}$$