一、特征值、特征向量

1. 定义

(1) $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，如果对于数$\lambda$ 和 $n$ 维非零向量 $\mathbf{\alpha }$ 满足

$$\mathbf{A}\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }$$

则称数 $\lambda$ 为矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值，非零向量 $\mathbf{\alpha }$ 是 $\mathbf{A}$ 的对应于 $\lambda$ 的特征向量。

(2) 设 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 是一个 $n$ 阶矩阵，则

$$\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}-\lambda \end{array}\right]$$

称为 $\mathbf{A}$ 的特征矩阵；

$|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}|$ 称为 $\mathbf{A}$ 的特征多项式；

$|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}|=0$ 称 $\mathbf{A}$ 的特征方程，矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值即为特征方程的根。

2. 性质

(1) 设 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 是一个 $n$ 阶矩阵，${\lambda }_i(i=1,2,\cdots ,n)$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征值，则

① $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$；

② $\prod _{i=1}^n{\lambda }_i=|\mathbf{A}|$。

(2) $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 与 ${\mathbf{A}}^T$ 具有相同的特征值，但特征向量一般不同。

(3) $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的不同特征值对应的特征向量线性无关。