四、矩阵的秩

1. 定义

(1) 子式

在 $m\times n$ 矩阵中，任取 $k$ 行与 $k$ 列，位于这些行列交叉处的 $k^2$ 个元素，不改变它们在 $\mathbf{A}$ 中所处的位置次序而得到的 $k$ 阶行列式，称矩阵 $\mathbf{A}$ 的 $k$ 阶子式。

(2) 矩阵的秩

设在矩阵 $\mathbf{A}$ 中有一个不等于 $0$ 的 $r$ 阶子式，且所有 $r+1$ 阶子式（如果存在的话）全等于 $0$，即矩阵中不等于 $0$ 的最高阶子式的阶数 $r$ 就是矩阵的秩，记作 $R(\mathbf{A})$，即 $R(\mathbf{A})=r$。

零矩阵的秩规定为 $0$。

2. 秩与初等变换的关系

初等变换不改变行列式的非零性。

初等变换不改变矩阵的秩。

设 $\mathbf{A}$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，且 $R(\mathbf{A})=r$，则存在 $m$ 阶可逆阵 $\mathbf{P}$ 及 $n$ 阶可逆阵 $\mathbf{Q}$，使得

$$\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right]$$

其中 ${\mathbf{E}}_r$ 为 $r$ 阶单位矩阵。上式右端的矩阵称为 $\mathbf{A}$ 的标准形。

3. 矩阵秩的性质

1. $0\le R({\mathbf{A}}_{m\times n})\le min(m,n)$；

2. $R(\mathbf{A})=R({\mathbf{A}}^T)=R(k\mathbf{A})$，其中 $k$ 是非零常数；

3. $R(\mathbf{A})=0\iff \mathbf{A}=\mathbf{O}$；$R(\mathbf{A})\ge 1\iff \mathbf{A}\ne \mathbf{O}$；

4. $R(\mathbf{A}+\mathbf{B})\le R(\mathbf{A})+R(\mathbf{B})$；

5. $R(\mathbf{A}\mathbf{B})\le min(R(\mathbf{A}),R(\mathbf{B}))$；

6. 如果 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$，则 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$；

7. 如果 $\mathbf{P},\mathbf{Q}$ 可逆，则 $R(\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q})=R(\mathbf{A})$；

8. $max(R(\mathbf{A})，R(\mathbf{B}))\le R(\mathbf{A},B)\le R(\mathbf{A})+R(\mathbf{B})$；特别地，$R(\mathbf{A})\le R(\mathbf{A},\mathbf{b})\le R(\mathbf{A})+1$，其中 $\mathbf{b}$ 为非零列向量。