二、克拉默法则 Cramer's Rule

1. 概述

$n$ 个未知量、$n$ 个方程组成的线性方程组（即 $(2.1)$，$m=n$ 时）

$$\begin{array}{rlr}& \{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ \cdots \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n,\end{array}& (2.9)\end{array}$$

如果其系数行列式 $D=|\mathbf{A}|\ne 0$，则方程组 $(2.9)$ 有唯一解

$$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\cdots ,x_n=\frac{D_n}{D},$$

其中 $D_j(j=1,2,\cdots ,n)$ 是把系数行列式 $D$ 中第 $j$ 列的元素用 $(2.9)$ 中右端的常数项代替后所得到的 $n$ 阶行列式，即

$$D_j=\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{ij-1}& b_1& a_{ij+1}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nj-1}& b_n& a_{nj+1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

克拉默法则得出的推论：

(1) 如果方程 $(2.9)$ 的系数行列式 $D=|\mathbf{A}|\ne 0$，则方程组 $(2.9)$ 一定有解，且解是唯一的。

(2) 如果方程组 $(2.9)$ 无解或有两个不同解，则其系数行列式 $D=|\mathbf{A}|=0$。

2. 应用

在齐次方程组 $(2.9)$ 中，

$$\begin{array}{rlr}& \{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0,\\ \cdots \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=0,\end{array}& (2.10)\end{array}$$

由克拉默法则，得：

(1) 如果齐次线性方程组 $(2.10)$ 的系数行列式 $D=|\mathbf{A}|\ne 0$，则齐次线性方程组 $(2.10)$ 只有零解。

(2) 如果齐次线性方程组 $(2.10)$ 有非零解，则它的系数行列式 $D=|\mathbf{A}|=0$。

还可进一步得到：

齐次线性方程组 $(2.10)$ 有非零解 $\iff$ $D=|\mathbf{A}|=0$。