二、概率与条件概率

1. 概率

设 $E$ 是随机试验， $S$ 是样本空间。对于 $E$ 的每一事件 $A$ 赋予一个实数 $P (A)$ ， $P (\cdot)$ 满足：

(1) 非负性：对于任意事件 $A$ ，有 $P (A) \geq 0$ ；

(2) 规范性：对于必然事件 $S$ ，有 $P (S) = 1$ ；

(3) 可列可加性：对于两两互斥的事件 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $\dots$ ，有

P (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots,

则称 $P (A)$ 为事件 $A$ 的概率。

设有两个事件 $A$ ， $B$ ，且 $P (A) > 0$ ，称

P (B | A) = \frac{P (A B)}{P (A)}

为在事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的条件概率。

(1) $P (\emptyset) = 0$ ， $P (S) = 1$ ， $0 \leq P (A) \leq 1$ ；

(2) 有限可加性：若 $A_{1}$ ， $A_{1}$ ， $\dots$ ， $A_{n}$ 是两两互斥的有限个事件，则

P (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots + P (A_{n});

(3) 单调性：若 $A \subset B$ ，则 $P (A) \leq P (B)$ ；

(4) 逆事件的概率： $P (\overset{―}{A}) = 1 - P (A)$ 。