五、事件独立性

1. 定义

(1) 设 $A,B$ 两个事件满足等式

$$P(AB)=P(A)P(B)$$

则称事件 $A,B$ 相互独立。

(2) 设 $A,B,C$ 是三个事件，如果满足等式

$$\begin{array}{rl}P(AB)& =P(A)P(B),\\ P(AC)& =P(A)P(C),\\ P(BC)& =P(B)P(C),\\ P(ABC)& =P(A)P(B)P(C)\end{array}$$

则称事件 $A,B,C$ 相互独立。

推广到 $n$ 个事件，设 $A_1,A_2,\dots ,A_n(n\ge 2)$ 是 $n$ 个事件，如果对于其中任意个事件的积事件的概率等于各个事件概率之积，则称事件$A_1,A_2,\dots ,A_n$ 相互独立。

2. 性质

(1) 当 $0<P(A)<1$ 时，则 $A,B$ 相互独立 $\iff$ $P(B|A)=P(B)$；

(2) 若事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，则下列各对事件也相互独立：

$$A\mathrm{与}\bar{B}，\bar{A}\mathrm{与}B，\bar{A}\mathrm{与}\bar{B}；$$

(3) 若事件 $$相互独立，则 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 两两独立，反之则不一定相互独立；

(4) 若 $n$ 个事件 $A_1,A_2,\dots ,A_n(n\ge 2)$ 相互独立，则将 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的 $n$ 个事件仍相互独立。

3. 伯努利概型

在 $n$ 次试验中，事件 $A$ 发生 $k$ 次的概率为

$$\begin{array}{rl}P\{\mathbf{X}=k\}& =C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}\\ \\ & =C_n^k{p}^k{q}^{n-k}\\ \\ q& =1-p,(k=0,1,2,3,\cdots ,n)\end{array}$$

称随机变量 $\mathbf{X}$ 服从参数 $n$，$p$ 的二项分布，记为 $\mathbf{X}\sim b(n,p)$。