一、二维随机变量及其分布

1. 二维随机变量及其分布函数的定义

(1) 设 $E$ 是一个随机试验，样本空间 $S=\{e\}$，由 $S$ 上的随机变量 $X=X(e)$ 和 $Y=Y(e)$ 构成的一个向量 $(X,Y)$，叫做二维随机向量或二维随机变量。

(2) 设 $(X,Y)$ 是二维随机变量，对于任意实数$x,y$，二元函数：

$$F(x,y)=P\{(X\le x)(Y\le y)\}\mathrm{记}\mathrm{成}P\{X\le x,Y\le y\}$$

称为二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数，或称随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合分布函数。

2. 分布函数 $F(x,y)$ 的性质

(1) $F(x,y)$ 是变量 $x$ 和 $y$ 的不减函数，即固定 $y$，当 $x_2>x_1$ 时 $F(x_2,y)\ge F(x,y)$；固定 $x$，当 $y_2>y_1$ 时 $F(x,y_2)\ge F(x,y_1)$；

(2) $0\le F(x,y)\le 1$，且

对于任意固定的 $y$，$F(-\mathrm{\infty },y)=0$；

对于任意固定的 $x$，$F(x,-\mathrm{\infty })=0$；

$$F(-\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty })=0,F(+\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })=1$$

(3) $F(x+0,y)=F(x,y)$，$F(x,y+0)=F(x,y)$，即 $F(x,y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 都是右连续；

(4) 对于任意 $(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$x_1<x_2$，$y_1<y_2$ 下述不等式成立：

$$F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)-F(x_1,y_2)\ge 0$$

(5) $P\{x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)-F(x_1,y_2)$；

(6) 若 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处连续，则 ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)}$；

3. 边缘分布

若二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数 $F(x,y)$，则

$$\begin{array}{rl}{F}_X(x)& =P\{X\le x\}\\ & =P\{X\le x,Y<+\mathrm{\infty }\}\\ & =F(x,+\mathrm{\infty })\\ & =\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{lim}F(x,y)\\ \\ F_Y(y)& =P\{Y\le y\}\\ & =P\{X<+\mathrm{\infty },Y\le y\}\\ & =F(+\mathrm{\infty },y)\\ & =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}F(x,y)\end{array}$$

依次称为二维随机变量 $(X,Y)$ 关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布函数。

4. 多维随机变量及其分布函数

设 $E$ 是一个随机试验，样本空间 $S=\{e\}$，设 $X_1=X_1(e)$，$X_2=X_2(e)$，$\cdots$，$X_n=X_n(e)$ 是定义在 $S$ 上的随机变量，由它们构成的一个 $n$ 维向量 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 叫做 $n$ 维随机向量或 $n$ 维随机变量。

对于任意 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，$n$ 元函数

$$F(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=P\{X_1\le x_1,X_2\le x_2,\cdots ,X_n\le x_n\}$$

称 $n$ 维随机变量 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的分布函数或随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 的联合分布函数。它具有类似于二维随机变量的分布函数的性质。