三、二维连续型随机变量的概率密度、边缘分布和条件分布

1. 二维连续型随机变量的概率密度

(1) 定义

如果 $F(x,y)$ 为二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数，存在非负可积函数 $f(x,y)$，使对于任意实数 $x,y$，有

$$F(x,y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{y}f(u,v)dudv$$

则称 $(X,Y)$ 为二维连续型随机变量，$f(x,y)$ 称为 $(X,Y)$ 的概率密度。

(2) 性质

① $f(x,y)\ge 0$；

② ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{y}f(u,v)dudv=1}$；

③ 二维随机変量 $(X,Y)$ 落在区域 $D$ 内的概率

$$P\{(X,Y)\in D\}=\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy$$

2. 二维连续型随机变量的边缘分布

设二维连续型随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y)$，则：

(1) 关于 $X$ 的边缘概率密度为

$$f_X(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$$

关于 $Y$ 的边缘概率密度为

$$f_Y(y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)dx$$

(2)［数学三］关于 $X$ 的边缘分布函数

$$\begin{array}{rl}{F}_X(x)& =F(x,+\mathrm{\infty })\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)dy]dx\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{f}_X(x)dx\end{array}$$

关于 $Y$ 的边缘分布函数

$$\begin{array}{rl}{F}_Y(y)& =F(+\mathrm{\infty },y)\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^y[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)dx]dy\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^y{f}_Y(y)dy\end{array}$$

3. 二维连续型随机变量的条件密度（与条件分布函数［数学三］）

设二维连续型随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度 $f(x,y)$，$(X,Y)$ 关于 $Y$ 的边缘概率密度为 $f_Y(y)$。若对于固定的 $y$，$f_Y(y)>0$，则称 ${\displaystyle \frac{f(x,y)}{f_Y(x,y)}}$ 为在 $Y=y$ 的条件下 $X$ 的条件概率密度，记为

$$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$

称 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{f}_{X|Y}(x|y)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}}$ 为在 $Y=y$ 的条件下 $X$ 的条件分布函数，记为 $P\{X\le x|Y=y\}$ 或 $F_{X|Y}(x|y)$，

即

$$\begin{array}{rl}{F}_{X|Y}(x|y)& =P\{X\le x|Y=y\}\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}dx\end{array}$$