五、两个重要的二维分布

1. 二维均匀分布

如果二维连续型随机变量 $(X,Y)$ 概率密度为

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{A},}& (x,y)\in G,\\ 0,& \mathrm{其}\mathrm{他},\end{array}$$

其中 $A$ 是平面有界区域 $G$ 的面积，则称 $(X,Y)$ 在 $G$ 上服从均匀分布。

2. 二维正态分布

若二维连续型随机变量 $(X,Y)$ 概率密度为

$$\begin{array}{rl}f(x,y)& =\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}\\ & -2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}]\},\\ \\ & -\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty },\\ & -\mathrm{\infty }<y<+\mathrm{\infty },\end{array}$$

其中 ${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1>0$，${\sigma }_2>0$，$-1<\rho <1$ 均为常数，则称$(X,Y)$ 服从参数为 ${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho$ 的二维正态分布，记为 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho )$。