四、随机变量的独立性

1. 定义

如果对于任意 $x,y$，有

$$P\{X\le x,Y\le y\}=P\{X\le x\}P\{Y\le y\}$$

即

$$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$$

则称随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立。

2. 随机变量相互独立充要条件

(1) 当 $(X,Y)$ 是离散型随机变量时

$X$ 和 $Y$ 相互独立 $\iff$ $P\{X=x_i,Y=y_i\}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\}$，即 $p_{ij}=p_{i\cdot }\cdot p_{\cdot j}$

(2) 当 $(X,Y)$ 是连续型随机变量时

$X$ 和 $Y$ 相互独立 $\iff$ $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$