二、大数定律

1. 依概率收敛

设 $Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n,\cdots$ 是一个随机变量序列，$A$ 是一个常数。若对任意的 $\epsilon >0$，有

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{|Y_n-A|<\epsilon \}=1$$

则称序列 $Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n,\cdots$ 依概率收敛于常数 $A$，记为 $Y_n\stackrel{P}{⟶}A$。

2. 切比雪夫大数定律

设随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 相互独立，存在常数 $C$，使得 $D(X_k)\le C(k=1,2,\cdots )$，则对任意 $\epsilon >0$，有

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k-\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}E(X_k)|<\epsilon \}=1$$

即 ${\displaystyle \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k\stackrel{P}{⟶}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}E(X_k)}$。

3. 伯努利大数定律

设 $f_A$ 是 $n$ 次独立重复试验中事件 $A$ 发生的次数，$P$ 是事件 $A$ 在每次试验中发生的概率，则对任意 $\epsilon >0$，有

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{|\frac{f_A}{n}-P|<\epsilon \}=1$$

或

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{|\frac{f_A}{n}-P|\ge \epsilon \}=0$$