一、随机变量的数学期望和方差

1. 数学期望

(1) 离散型随变量的数学期望

设离散型随机变量 $X$ 的分布为

$$P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,\cdots ,$$

若级数 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k{p}_k}$ 绝对收敛，则称此级数为随机变量 $X$ 的数学期望或均值，记作 $E(X)$ ，即 $E(X)={\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k{p}_k}$。

(2) 连续型随机变量的数学期望

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$，如果积分 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}xf(x)dx}$ 绝对收敛，则称此积分为随机变量 $X$ 的数学期望，记作 $E(X)={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}xf(x)dx}$。

(3) 随机变量 $X$ 的函数 $Y=g(X)$ 的数学期望

设 $Y$ 是随机变量 $X$ 的函数：$Y=g(X)$（ $g$ 是连续函数）。

① 如果随机变量 $X$ 的分布律 $P=\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,\cdots$，若 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}g(x_k)p_k}$ 绝对收敛，则有

$$E(Y)=E[g(X)]=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}g(x_k)p_k$$

② 如果连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$，若 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}g(x)f(x)dx}$ 绝对收敛，则有

$$E(Y)=E[g(X)]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}g(x)f(x)dx$$

(4) 随机变量 $(X,Y)$ 的函数 $Z=g(X,Y)$ 的数学期望

设 $Z$ 是随机变量 $X,Y$ 的函数 $Z=g(X,Y)$（ $g$ 是连续函数）。

① 如果 $(X,Y)$ 为二维离散型随机变量，其分布律为 $P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdots$ ，若${\displaystyle \sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}g(x_i,y_j)p_{ij}}$ 绝对收敛，则有

$$E(Z)=E[g(X,Y)]=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}g(x_i,y_j)p_{ij}$$

② 如果二维连续型随机变量 $X,Y$ 的概率密度为 $f(x,y)$ ，若 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}g(x,y)f(x,y)dxdy}$ 绝对收敛，则有

$$E(Z)=E[g(X,Y)]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}g(x,y)f(x,y)dxdy$$

(5) 数学期望的性质

① 设 $C$ 是常数，则 $E(C)=C$。

② 设 $X$ 是随机变量，$C$ 是常数，

$$E(CX)=CE(X)$$

③ 设 $X,Y$ 是任意两个随机変量，

$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$

推论 设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是 $n$ 个随机变量，则有 $E(k_1{X}_1+k_2{X}_2+\cdots +k_n{X}_n)=k_{1}E(X_1)+k_{2}E(X_2)+\cdots +k_{n}E(X_n)$。

④ 设随机变量 $X,Y$ 相互独立，则

$$E(XY)=E(X)E(Y)$$

推论 设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是 $n$ 个相互独立的随机变量，则

$$E(X_1{X}_2\cdots X_n)=E(X_1)E(X_2)\cdots E(X_n)$$

2. 方差

(1) 定义

设 $X$ 是随机变量，如果数学期望 $E\{[X-E(X){]}^2\}$ 存在，则称其为 $X$ 的方差，记作 $D(X)$，即

$$D(X)=Var(X)=E\{[X-E(X){]}^2\}$$

称 $\sqrt{D(x)}$ 为随机变量 $X$ 的标准差或均方差，记作 $\sigma (X)$，即

$$\sigma (X)=\sqrt{D(x)}$$

① 对于离散型随机变量有

$$D(X)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}[x_k-E(X){]}^2{p}_k$$

其中 $P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,\cdots$ 是 $X$ 的分布律。

② 对于连续型随机变量有

$$D(X)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}[x-E(X){]}^{2}f(x)dx$$

其中 $f(x)$ 是 $X$ 的概率密度。

(2) 计算公式

$$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$$

(3) 性质

① 设 $C$ 是常数，则 $D(C)=0$，反之，从 $D(x)=0$ 中不能得出 $X$ 为常数的结论。

② 设 $X$ 是随机变量，$C$ 是常数，

$$\begin{array}{r}D(CX)=C^{2}D(X)\\ D(X+C)=D(X)\end{array}$$

③ 设 $X,Y$ 是两个随机变量，

$$D(X+Y)=D(X)+D(Y{)}_{2}E\{[X-E(x)][Y-E(Y)]\}$$

特别地，若 $X,Y$ 相互独立，

$$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$$

推论 设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是相互独立的随机变量，

$$D(X_1+X_2+\cdots +X_n)=D(X_1)+D(X_2)+\cdots +D(X_n)$$

④ $D(X)=0$ $\iff$ $P\{X=E(x)\}=1$。

(4) 常用随机变量的数学期望和方差（如下表所示）

常用随机变量	数学期望	方差
0—1分布	$p$	$p(1-p)$
二项分布	$np$	$np(1-p)$
几何分布	${\displaystyle \frac{1}{p}}$	${\displaystyle \frac{1-p}{p^2}}$
泊松分布	$\lambda$	$\lambda$
均匀分布	${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$	${\displaystyle \frac{(b-a{)}^2}{12}}$
正态分布	$\mu$	${\sigma }^2$
指数分布	${\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$	${\displaystyle \frac{1}{{\lambda }^2}}$