三、行列式的性质

记

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|，$$$$D^{\tau }=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|，$$

称行列式 $D^{\tau }$ 为行列式 $D$ 的转置行列式。

1. 经过转置行列式的值不变，即 $D=D^{\tau }$。

2. 互换行列式的两行（列）位置，行列式的值变号。

   推论 若行列式有两行（列）完全相同，则此行列式值 0。

3. 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此行列式。

   推论1 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。

   推论2 若行列式中有一行（列）的元素全为零，则此行列式值为 0。

   推论3 若行列式中有两行（列）的元素成比例，则此行列式值为 0。

4. 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一不为 0 的数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。

5. 如果行列式的某一行（列）的元素都是两个数之和

$$D=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1j}+a_{1j^{\prime }}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2j}+a_{2j^{\prime }}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nj}+a_{n{j}^{\prime }}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|，$$

则 $D$ 等于下列两个行列式之和：

$$\begin{array}{rl}D& =\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1j}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2j}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nj}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\\ \\ & +\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1j^{\prime }}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2j^{\prime }}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{n{j}^{\prime }}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\end{array}$$