一、向量组及其线性组合

1. n维向量

$n$ 个有次序的数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 所组成的数组称为 $n$ 维向量。

$n$ 维向量可写成一行，也可写成一列，分别称为行向量和列向量，也就是行矩阵和列矩阵。因此行向量与列向量具有与矩阵相同的线性运算与运算律。

本章，列向量用 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }$ 等表示，行向量则用 ${\mathbf{\alpha }}^T,{\mathbf{\beta }}^T,{\mathbf{\gamma }}^T$ 等表示。

2. 向量组

若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合叫做向量组。

由 $m$ 个 $n$ 维列向量所组成的向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 构成一个 $n\times m$ 矩阵

$$\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)$$

由 $m$ 个 $n$ 维行向量所组成的向量组 $B:{\mathbf{\beta }}_1^T,{\mathbf{\beta }}_2^T,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_m^T$ 构成一个 $m\times n$ 矩阵

$$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{\beta }}_1^T\\ {\mathbf{\beta }}_2^T\\ ⋮\\ {\mathbf{\beta }}_m^T\end{array}\right]$$

3. 线性组合

$m$ 个 $n$ 维向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$，和 $m$ 个数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，表达式

$$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m$$

称为向量组 $A$ 的一个线性组合，其中 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$ 称为线性组合系数。

4. 线性表出

(1) 定义

给定向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 和向量 $\mathbf{b}$，如果存在一组数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_m$，使得

$$\mathbf{b}={\lambda }_1{\mathbf{\alpha }}_1+{\lambda }_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +{\lambda }_m{\mathbf{\alpha }}_m$$

则向量 $\mathbf{b}$ 是向量组 $A$ 的线性组合，也称向量 $\mathbf{b}$ 能由向量组 $A$ 线性表出。

(2) 判定

定理 向量 $\mathbf{b}$ 能由向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性表出

$\iff$ 非齐次线性方程组 $x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_m{\mathbf{\alpha }}_m=\mathbf{b}$ 有解

$\iff R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$，其中 $\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)$，$\mathbf{B}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m,\mathbf{b})$

5. 向量组等价

(1) 定义

设有两个向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 及 $B:{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_m$，如果 $B$ 组中的每个向量都能由向量组 $A$ 线性表出，则称向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表出。如果向量组 $A$ 与向量组 $B$ 能相互线性表出，则称这两个向量组等价。

(2) 性质

① 反身性：向量组 $A$ 与自身等价；

② 对称性：如果向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价，则向量组 $B$ 也与向量组 $A$ 等价；

③ 传递性：如果向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价，向量组 $B$ 与向量组 $C$ 等价，则向量组 $A$ 与向量组 $C$ 等价。

(3) 判定

① 向量组 $B:{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_l$ 能由向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性表出

$\iff$ 矩阵方程 $\mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{B}$ 有解，其中矩阵 $\mathbf{A}=({\alpha }_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)$，矩阵 $\mathbf{B}=({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_l)$

$\iff R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$。

② 向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 与向量组 $B:{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_l$ 等价

$\iff R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$。

③ 设向量组 $B:{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_l$ 能由向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性表出，则 $R(\mathbf{B})\le R(\mathbf{A})$。