五、向量空间［数学一］

1. n维向量空间

设 $V$ 为 $n$ 维向量的集合，如果集合 $V$ 非空，且集合 $V$ 对于向量的加法及数乘两种运算封闭，即

(1) 如果 $\mathbf{\alpha }\in V,\mathbf{\beta }\in V$，则 $\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }\in V$；

(2) 如果 $\mathbf{\alpha }\in V,\lambda \in \mathbf{R}$，则 $\lambda \mathbf{\alpha }\in V$，

则称集合 $V$ 为向量空间。

特别地， $n$ 维向量的全体 ${\mathbf{R}}^n$ 就是一个向量空间。

2. ${\mathbf{R}}^n$的基、维数和坐标

(1) 设 $V$ 为向量空间，如果 $r$ 个向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r\in V$，且满足：

① ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 线性无关；

② $V$ 中任意一个向量都可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 线性表出，则向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 就称为向量空间 $V$ 的一个基，$r$ 称为向量空间 $V$ 的维数，并称 $V$ 为 $r$ 维向量空间。

(2) 如果在向量空间 $V$ 中取定一个基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$，则 $V$ 中任意一个向量 $\mathbf{\alpha }$ 可唯一地表示为

$$\mathbf{\alpha }={\lambda }_1{\mathbf{\alpha }}_1+{\lambda }_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +{\lambda }_r{\mathbf{\alpha }}_r$$

数组 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_r$ 称为向量 $\mathbf{\alpha }$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 的坐标，记为 $\mathbf{X}$，即

$$\mathbf{X}=\left[\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ ⋮\\ {\lambda }_r\end{array}\right]$$

3. 生成的向量空间

由向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 生成的向量空间

$$L=\{\mathbf{X}=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m|k_1,k_2,\cdots ,k_m\in \mathbf{R}\}$$

显然向量空间 $L$ 与向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 等价，因此向量空间 $L$ 的一个基就是向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 的极大线性无关组；

向量空间 $L$ 的维数就是向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 的秩。

4. 基变换公式与坐标变换公式

(1) 基变换公式

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 和 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 是 $n$ 维向量空间 ${\mathbf{R}}^n$ 的两个基，如果存在矩阵 $\mathbf{C}$，使得

$$\begin{array}{rl}({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n)& =({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\left[\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{n1}& c_{n2}& \cdots & c_{nn}\end{array}\right]\\ \\ & =({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{C}\end{array}$$

该式称为由基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 到基 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 的基变换公式，矩阵 $\mathbf{C}$ 称为由基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 到基 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 的过渡矩阵。

过渡矩阵一定是可逆矩阵，${\mathbf{C}}^{-1}$ 为从基 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 到基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 的过渡矩阵。

(2) 坐标变换公式

设 $n$ 维向量 $\mathbf{\alpha }$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 与基 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 下的坐标分别为 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$，即

$$\begin{array}{rl}\mathbf{\alpha }& =({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{x},\\ \\ & =({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n)\mathbf{y},\end{array}$$

而

$$({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{C}$$

则

$$\mathbf{x}=\mathbf{C}\mathbf{y}\mathrm{或}\mathbf{y}={\mathbf{C}}^{-1}\mathbf{x}$$

该式称为坐标变换公式。