一、矩阵的概念及运算

1. 矩阵的定义

$m\times n$ 个数 $a_{ij}(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$ 排成如下的 $m$ 行 $n$ 列的数表

$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$

称为一个 $m\times n$ 矩阵，记为 $\mathbf{A}$ 或 ${\mathbf{A}}_{m\times n}$，即 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 或 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}$。 这 $m\times n$ 个数称矩阵 $\mathbf{A}$ 的元素。

当 $m=n$ 时，矩阵 ${\mathbf{A}}_{n\times n}$ 称 $n$ 阶矩阵或 $n$ 阶方阵。

元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作 $\mathbf{O}$，应注意不同型的零矩阵是不同的。

只有一行的矩阵 $\mathbf{A}=(a_1,a_2,\cdots ,n)$ 称行矩阵，又称行向量。为避免元素间的混淆，行矩阵也记作 $\mathbf{A}=(a_1,a_2,\cdots ,n)$。只有一列的矩阵$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right]$ 称为列矩阵，又称列向量。

设 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，$\mathbf{B}=(b_{ij}{)}_{m\times n}$ 是两个同型矩阵（行数相等、列数也相等），如果对应元素都相等，即

$$a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)，$$

则称矩阵 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相等，记作 $\mathbf{A}=\mathbf{B}$。

2. 特殊矩阵

(1) 单位阵

主对角线上的元素全为 $1$，其他元素都是 $0$ 的方阵称为单位阵，记为 $\mathbf{E}$。

(2) 数量阵

主对角线上的元素全为 $k(\mathrm{数}k\ne 0)$，其他元素都是 $0$的方阵称为数量阵，记为 $k\mathbf{E}$。

(3) 对角阵

主对角线上的元素为常数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ ，其他元素都是 $0$ 的方阵称为对角阵，记为 $\mathbf{A}$，即

$$\begin{array}{rl}\mathbf{A}& =diag(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\\ & =\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& & & \\ & a_2& & \\ & & \ddots & & \\ & & & a_n\end{array}\right]\end{array}$$

(4) 上（下）三角阵

当 $i>j(i<j)$ 时，有 $a_{ij}=0$ 的方阵称为上（下）三角阵，即

$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ & a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ & & \ddots & ⋮\\ & & & a_m\end{array}\right]\mathrm{是}\mathrm{上}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{阵}，$$$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & & \\ a_{21}& a_{22}& & \\ ⋮& & \ddots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\mathrm{是}\mathrm{下}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{阵}，$$

上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵。

(5) 对称阵

若 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 的元素满足 $a_{ij}=a_{ji}$，即 ${\mathbf{A}}^{\tau }=\mathbf{A}$，则称 $\mathbf{A}$ 为对称阵。

(6) 反对称阵

若 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 的元素满足 $a_{ij}=-a_{ji}$，即 ${\mathbf{A}}^{\tau }=-\mathbf{A}$，则称 $\mathbf{A}$ 为反对称阵。

3. 矩阵的运算

(1) 矩阵的加减与数乘

1) 矩阵的加（减）法

设 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}$ 和 $\mathbf{B}=(b_{ij}{)}_{m\times n}$ 是两个同型矩阵，则

$$\mathbf{A}\pm \mathbf{B}=(a_{ij}\pm b_{ij}{)}_{m\times n}$$

2) 数量乘法（数乘）

数 $\lambda$ 与矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}$ 的乘积记作 $\lambda \mathbf{A}$，则

$$\lambda \mathbf{A}=\lambda (a_{ij}{)}_{m\times n}=(\lambda a_{ij}{)}_{m\times n}$$

3) 运算律

（假设 $\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$ 为 $m\times n$ 矩阵，$\lambda ,\mu$ 为数）

①（加法）交换律：$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}$；

②（加法）结合律：$(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})$；

（数乘）结合律：$(\lambda \mu )\mathbf{A}=\lambda (\mu \mathbf{A})$；

③ 分配律：$\lambda (\mathbf{A}+\mathbf{B})=\lambda \mathbf{A}+\lambda \mathbf{B},(\lambda +\mu )\mathbf{A}=\lambda \mathbf{A}+\mu \mathbf{A}$；

(2) 矩阵与矩阵相乘（矩阵的乘法）

1) 定义

设 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 是一个 $m\times s$ 矩阵，$\mathbf{B}=(b_{ij})$ 是一个 $s\times n$ 矩阵，则矩阵 $\mathbf{A}$ 与矩阵 $\mathbf{A}$ 的乘积是一个 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{C}=(c_{ij})$，即 $\mathbf{C}=\mathbf{A}\mathbf{B}$，其中

$$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{is}{b}_{sj}=\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}$$

2) 运算律

（假设运算都是可行的）

①（矩阵乘法）结合律：$(\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}=\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C})$；

（数与矩阵乘法）结合律：$\lambda (\mathbf{A}\mathbf{B})=\lambda (\mathbf{A})\mathbf{B}=\mathbf{A}(\lambda \mathbf{B})$（其中$\lambda$为数）；

② 分配律：

$\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{A}\mathbf{C}$

$(\mathbf{B}+\mathbf{C})\mathbf{A}=\mathbf{B}\mathbf{A}+\mathbf{C}\mathbf{A}$

(3) 矩阵的转置

1) 定义

把矩阵 $\mathbf{A}$ 的行列互换得到一个新矩阵，为 $\mathbf{A}$ 的转置矩阵，记作 ${\mathbf{A}}^T$。

例如：

如果 $\mathbf{A}={\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]}_{m\times n}$，则

${\mathbf{A}}^T={\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{n2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{1m}& a_{2m}& \cdots & a_{nm}\end{array}\right]}_{n\times m}$

2) 性质

① $({\mathbf{A}}^T{)}^T=\mathbf{A}$；

② $(\mathbf{A}+\mathbf{B}{)}^T={\mathbf{A}}^T+{\mathbf{B}}^T$；

③ $(\lambda \mathbf{A}{)}^T=\lambda {\mathbf{A}}^T$;

④ $(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^T={\mathbf{B}}^T{\mathbf{A}}^T$

(4) 方阵的行列式

1) 定义

由 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 的元素所构成的行列式，称为方阵 $\mathbf{A}$ 的行列式，记作 $|\mathbf{A}|$ 或 $det(\mathbf{A})$。

2) 性质

（设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda$为数）

① $|{\mathbf{A}}^T|=|\mathbf{A}|$ （行列式性质1 - 经过转置行列式的值不变）；

② $|\lambda \mathbf{A}|={\lambda }^n|\mathbf{A}|$;

③ $|\mathbf{A}\mathbf{B}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$。

(5) 方阵的幂

1) 定义

设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶方阵，定义 ${\mathbf{A}}^k=\underset{k\mathrm{个}}{\underbrace{\mathbf{A}\bullet \mathbf{A}\bullet \cdots \bullet \mathbf{A}}}$ 为 $\mathbf{A}$的 $k$ 次幂。

2) 性质

（假设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵，$k,m$ 为正整数）

① $({\mathbf{A}}^k{)}^m={\mathbf{A}}^{km}$；

② ${\mathbf{A}}^k{\mathbf{A}}^m={\mathbf{A}}^{k+m}$。