三、初等变换、初等矩阵

1. 初等变换

以下三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：

(1) 两行（列）互换；

(2) 某一行（列）中的所有元素乘以数 $k\ne 0$；

(3) 把某一行（列）所有元素的 倍加到另一行（列）对应的元素上去。

矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换。

2. 初等矩阵

(1) 定义

由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应有三种初等矩阵。

(2) 初等矩阵的逆矩阵与伴随矩阵

初等矩阵都是可逆的，其逆矩阵仍然是初等矩阵，且

1. $[\mathbf{E}(i,j){]}^{-1}=[\mathbf{E}(i,j)]$；

2. $[\mathbf{E}(i(k)){]}^{-1}=\mathbf{E}(i(\frac{1}{k}))$；

3. $[\mathbf{E}(ij(k)){]}^{-1}=\mathbf{E}(ij(-k))$。

其相应的伴随矩阵为：

1. ${\mathbf{E}}^{\ast }(i,j)=|\mathbf{E}(i,j)|[\mathbf{E}(i,j){]}^{-1}=-\mathbf{E}(i,j)$；

2. $\mathbf{E}(i(k))=|\mathbf{E}(i(k))|[\mathbf{E}(i(k)){]}^{-1}=k\mathbf{E}(i(\frac{1}{k}))$

3. $\mathbf{E}(ij(k))=|\mathbf{E}(ij(k))|[\mathbf{E}(ij(k)){]}^{-1}=\mathbf{E}(ij(-k))$。

3. 初等变换与初等矩阵的关系

设 $\mathbf{A}$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，对 $\mathbf{A}$ 进行一次初等行（列）变换，相当于在 $\mathbf{A}$ 的左（右）边乘以相应的 $m$ 阶（$n$ 阶）初等矩阵。

4. 矩阵等价

(1) 定义

矩阵 $\mathbf{A}$ 经有限次初等变换变成矩阵 $\mathbf{B}$，就称矩阵 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 等价，记作 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$。

(2) 矩阵等价的性质

1. 反射性：$\mathbf{A}\sim \mathbf{A}$；

2. 对称性：如果 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$，则 $\mathbf{B}\sim \mathbf{A}$；

3. 传递性：如果 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$，$\mathbf{B}\sim \mathbf{C}$，则$\mathbf{A}\sim \mathbf{C}$。

(3) 矩阵等价的充要条件

设 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 都是 $m\times n$ 矩阵，则 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}\iff$ 存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 及 $n$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{Q}$，使 $\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{B}$。