二、可逆矩阵与伴随矩阵

1. 可逆矩阵

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，如果存在 $n$ 阶矩阵 $B$ ，使

$A B = B A = E$ （单位矩阵），

成立，则称矩阵 $A$ 是可逆矩阵，并称矩阵 $B$ 为矩阵 $A$ 的逆矩阵，记为 $A^{- 1}$ 。

若 $A$ 可逆，则 $A^{- 1}$ ， $A^{T}$ 均可逆，且 $(A^{- 1})^{- 1} = A$ ， $(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T}$ 。
若 $A$ 可逆，数 $λ \neq 0$ ，则 $λ A$ 可逆，且

(λ A)^{- 1} = \frac{1}{λ} A^{- 1}

$A$ 可逆 $\Leftrightarrow | A | \neq 0$ ，且 $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} A^{*}$ ，其中 $A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵。

推论如果 $A B = E$ （或 $B A = E$ ），则 $B = A^{- 1} ， A = B^{- 1}$ 。

设 $n$ 阶矩阵 $A = (a_{i j})$ ，则行列式 $| A |$ 的各个元素的代数余子式 $A_{i j}$ 所构成的矩阵

A^{*} = [\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \dots & A_{n n} \end{matrix}]

称为矩阵 $A$ 的伴随矩阵，记作 $A^{*}$ 。

（ $A$ 是 $n$ 阶方阵， $λ$ 是数）

$A A^{*} = A^{*} A = | A | E$ ；
$(λ A)^{*} = λ^{n - 1} A^{*}$ ；
$(A B)^{*} = B^{*} A^{*}$ ；
$| A^{*} | = | A |^{n - 1} (n \geq 2)$ ；
$(A^{*})^{*} = | A |^{n - 2} A (n \geq 3)$ ；
如 $A$ 可逆，则 $A^{*}$ 也可逆，且 $A^{*} = | A | A^{- 1}$ ， $(A^{*})^{- 1} = \frac{1}{| A |} A$ 。