五、分块矩阵

1. 分块矩阵的定义

将矩阵 $\mathbf{A}$ 用若干条纵线和横线分成许多小块，每一小块称为 $\mathbf{A}$ 的子块 （或子矩阵），以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

2. 分块矩阵的运算

分块矩阵与普通矩阵有类似的加法、数乘、乘积、转置等运算，只要将子块当做普通矩阵元素即可。

3. 分块矩阵的逆矩阵

设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 都是可逆矩阵，则

(1)

$$\begin{array}{rl}{\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right]}^{-1}& =\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}^{-1}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{B}}^{-1}\end{array}\right],\\ \\ {\left[\begin{array}{cc}\mathbf{O}& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& \mathbf{O}\end{array}\right]}^{-1}& =\left[\begin{array}{cc}\mathbf{O}& {\mathbf{B}}^{-1}\\ {\mathbf{A}}^{-1}& \mathbf{O}\end{array}\right]\end{array}$$

(2)

$${\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{C}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}^{-1}& -{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{C}{\mathbf{B}}^{-1}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{B}}^{-1}\end{array}\right]$$

(3)

$${\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{C}& \mathbf{B}\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}^{-1}& \mathbf{O}\\ -{\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{C}{\mathbf{A}}^{-1}& {\mathbf{B}}^{-1}\end{array}\right]$$

4. 分块矩阵的行列式

设 $\mathbf{A}$ 是 $m$ 阶矩阵， $\mathbf{B}$ 是 $n$ 阶矩阵，则

(1)

$$\begin{array}{r}\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{C}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{C}& \mathbf{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}\mathbf{B}\end{array}\right|\end{array}$$

(2)

$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{cc}\mathbf{C}& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& \mathbf{O}\end{array}\right|& =\left|\begin{array}{cc}\mathbf{O}& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& \mathbf{C}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{O}& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& \mathbf{O}\end{array}\right|\\ & =(-1{)}^{(m\times n)}\left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}\mathbf{B}\end{array}\right|\end{array}$$