三、矩阵的相似对角化

1. 定义

设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，如果存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使得

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda }=diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$$

为对角矩阵，则称矩阵 $\mathbf{A}$ 能相似对角化。

2. 条件

$n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 能相似对角化 $\iff$ $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

推论 如果 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $\mathbf{A}$ 能相似对角化。