二、相似矩阵

1. 定义

设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使得

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$$

则称矩阵 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似。对 $\mathbf{A}$ 进行运算 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$ 称为对 $\mathbf{A}$ 进行相似变换，可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 称把 $\mathbf{A}$ 变成 $\mathbf{B}$ 的相似变换矩阵，

2. 性质

设 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似，则

(1) $|\mathbf{A}|=|\mathbf{B}|$；

(2) $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$；

(3) $|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{B}|$，故 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 的特征值亦相同；

(4) ${\mathbf{A}}^m$ 与 ${\mathbf{B}}^m$，${\mathbf{A}}^T$ 与 ${\mathbf{B}}^T$，${\mathbf{A}}^{-1}$ 与 ${\mathbf{B}}^{-1}$ ，${\mathbf{A}}^{\ast }$ 与 ${\mathbf{B}}^{\ast }$ 都相似（$m$ 为正整数）；

(5) $\mathbf{A}$ 的多项式 $f(\mathbf{A})$ 与 $\mathbf{B}$ 的多项式 $f(\mathbf{B})$ 相似，从而$|f(\mathbf{A})|=|f(\mathbf{B})|$；特别是 $\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}$ 与 $\lambda \mathbf{E}-\mathbf{B}$ 相似，从而 $|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{B}|$，即性质 (3)。

(6) $\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=\sum _{i=1}^n{b}_{ii}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$，即 $tr(\mathbf{A})=tr(\mathbf{B})=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$，其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 是 $\mathbf{A}(\mathbf{B})$ 的特征值。