四、（实）对称矩阵的对角化

1. 对称矩阵的特征值与特征向量的性质

(1) 对称矩阵的特征值实数。

(2) 对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的。

推论 设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶对称矩阵，$\lambda$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征方程的 $k$ 重根，对应特征值 $\lambda$ 恰有 $k$ 个线性无关的特征向量。

2. 对称矩阵的对角化

设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶对称矩阵，则一定存在正交矩阵 $\mathbf{P}$，使得

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}={\mathbf{P}}^T\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda }=diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$$

其中 ${\lambda }_i(i=1,2,\cdots ,n)$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征值。