一、二次型的概念、矩阵表示

1. 二次型的定义

$n$ 个变量的一个二次齐次多项式

$$\begin{array}{rl}f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)& =a_{11}{x}_1^2+2a_{12}{x}_1{x}_2+\cdots +2a_{1n}{x}_1{x}_n\\ & +a_{22}{x}_2^2+2a_{23}{x}_2{x}_3+\cdots +2a_{2n}{x}_2{x}_n\\ & +\cdots +a_{nn}{x}_n^2\end{array}$$

称为 $n$ 个变量的二次型。系数均为实数时，称为 $n$ 元实二次型。

2. 二次型的矩阵表示

(1) 设 $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$，$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$，则二次型可表示为

$$\begin{array}{rlr}& f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x},& (2.14)\end{array}$$

其中 $\mathbf{A}$ 为对称矩阵，$(2.14)$ 称为二次型的矩阵表示。把对称矩阵 $\mathbf{A}$ 叫做二次型 $f$ 的矩阵，把 $f$ 叫做对称矩阵 $\mathbf{A}$ 的二次型。

(2) 如果 $f={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$，其中 $\mathbf{A}$ 是对称矩阵，则对称矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩即为二次型 $f$ 的秩。

3. 线性变换

两组变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 与 $y_1,y_2,\cdots ,y_n$ 有

$$\begin{array}{rlr}& \{\begin{array}{l}{x}_1=c_{11}{y}_1+c_{12}{y}_2+\cdots +c_{1n}{y}_n.\\ x_2=c_{21}{y}_1+c_{22}{y}_2+\cdots +c_{2n}{y}_n,\\ \cdots ,\\ x_n=c_{n1}{y}_1+c_{n2}{y}_2+\cdots +c_{nn}{y}_n,\end{array}& (2.15)\end{array}$$

称为由 $y_1,y_2,\cdots ,y_n$ 到 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 的一个线性变换。

记

$$\begin{array}{rl}\mathbf{x}& =\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right],\\ \\ \mathbf{y}& =\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right],\\ \\ \mathbf{C}& =\left[\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{n1}& c_{n2}& \cdots & c_{nn}\end{array}\right],\end{array}$$

则线性变换 $(2.15)$ 可写成

$$\mathbf{x}=\mathbf{C}\mathbf{y}$$

若 $|\mathbf{C}|\ne 0$，则称线性变换为可逆线性变换；若 $\mathbf{C}$ 是正交矩阵，则称 $\mathbf{x}=\mathbf{C}\mathbf{y}$ 为正交变换。

4. 合同矩阵

(1) 定义

设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$都是 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $\mathbf{C}$，使得

$${\mathbf{C}}^T\mathbf{A}\mathbf{C}=\mathbf{B},$$

则称矩阵 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 合同。对 $\mathbf{A}$ 进行运算 ${\mathbf{C}}^T\mathbf{A}\mathbf{C}$ 称为对 $\mathbf{A}$ 进行合同变换，可逆矩阵 $\mathbf{C}$ 称为把 $\mathbf{A}$ 变成 $\mathbf{B}$ 的合同变换矩阵。

(2) 性质

设 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 合同

① 若 $\mathbf{A}$ 为对称矩阵，则 $\mathbf{B}$ 也为对称矩阵；

② $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$；

③ 若 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 合同，$\mathbf{B}$ 与 $\mathbf{C}$ 合同，则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{C}$ 合同。

(3) 可逆线性变换前后二次型的矩阵之间的关系

设二次型 $f={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}({\mathbf{A}}^T=\mathbf{A})$，令 $\mathbf{x}=\mathbf{C}\mathbf{y}$，$|\mathbf{C}|\ne 0$，则

$$\begin{array}{rl}f& ={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=(\mathbf{C}\mathbf{y}{)}^T\mathbf{A}\mathbf{C}\mathbf{y}\\ \\ & ={\mathbf{y}}^T({\mathbf{C}}^T\mathbf{A}\mathbf{C})\mathbf{y}\stackrel{\mathrm{记}}{=}{\mathbf{y}}^T\mathbf{B}\mathbf{y}\end{array}$$

其中 $\mathbf{B}={\mathbf{C}}^T\mathbf{A}\mathbf{C}$，即可逆线性变换前后二次型对应的矩阵是合同的。