三、正定二次型、正定矩阵

1. 定义

设有二次型 $f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}({\mathbf{A}}^T=\mathbf{A})$，若对任意的非零向量，都有 $f(\mathbf{x})>0(f(\mathbf{x})<0)$（显然$f(\mathbf{0})=0$），则称 $f$ 正定二次型，并称对称矩阵 $\mathbf{A}$ 是正定矩阵。

2. 正定二次型（正定矩阵）的充要条件

二次型 $f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$ 正定（对称矩阵 $\mathbf{A}$ 正定）

$\iff$ 二次型 $f$ 的正惯性指数等于 $n$；

$\iff$ $\mathbf{A}$ 合同于 $\mathbf{E}$，即存在可逆矩阵 $\mathbf{C}$，使 ${\mathbf{C}}^T\mathbf{A}\mathbf{C}=\mathbf{E}$；

$\iff$ 存在可逆矩阵 $\mathbf{D}$，使 $\mathbf{A}={\mathbf{D}}^T\mathbf{D}$；

$\iff$ $\mathbf{A}$ 的特征值 ${\lambda }_i>0,i=1,2,\cdots ,n$；

$\iff$ $\mathbf{A}$ 的全部顺序主子式大于零，即

$$\begin{array}{rl}{a}_{11}& >0,\\ \\ \left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|& >0，\\ \\ & \cdots ,\\ \\ \left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|& >0,\end{array}$$

3. 正定矩阵的必要条件

若二次型 $f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$ 正定，则行列式 $|\mathbf{A}|>0$，且 $\mathbf{A}$ 的主对角线元素 $a_{ii}>0(i=1,2,\cdots ,n)$。