二、化二次型为标准形、规范形

1. 二次型的标准形、规范形

(1) 对于二次型 $f={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}({\mathbf{A}}^T=\mathbf{A})$，一定存在可逆线性变换 $\mathbf{x}=\mathbf{C}\mathbf{y}$，使二次型

$$\begin{array}{rl}f& ={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}={\mathbf{y}}^T({\mathbf{C}}^T\mathbf{A}\mathbf{C})\mathbf{y}\\ \\ & =k_1{y}_1^2+k_2{y}_2^2+\cdots +k_n{y}_n^2\end{array}$$

只含平方项，称为二次型的标准形。

(2) 如果二次型的标准形的系数 $k_1,k_2,\cdots ,k_n$ 只是 $1,-1,0$，即可逆线性变换 $\mathbf{x}=\mathbf{C}\mathbf{y}$ 使二次型 $f={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$ 化为

$$f=y_1^2+\cdots +y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots -y_r^2$$

则称为二次型的规范形，其中 $r$ 是二次型的秩。

(3) 二次型的标准形中正系数的个数（即规范形中 $1$ 的个数 $p$）称为二次型的正惯性指数，负系数的个数（即规范形中 $-1$ 的个数 $r-p$）称为负惯性指数。

① 任给二次型 $f={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}({\mathbf{A}}^T=\mathbf{A})$，总存在正交变换 $\mathbf{x}=\mathbf{P}\mathbf{y}$，使 $f$ 化为标准形

$$f={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2，$$

其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 是 $f$ 的矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 的特征值。

② 任一个 $n$ 元二次型 $f={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}({\mathbf{A}}^T=\mathbf{A})$，都可以通过可逆线性变换 $\mathbf{x}=\mathbf{P}\mathbf{y}$，使 $f$ 化为标准形

$$f=d_1{y}_1^2+d_2{y}_2^2+\cdots +d_n{y}_n^2,$$

2. 惯性定理

设有二次型 $f={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$，其秩为 $r$，设有两个可逆线性变换

$$\mathbf{x}=\mathbf{C}\mathbf{y}\mathrm{及}\mathbf{x}=\mathbf{P}\mathbf{z}$$

使 $f={\mathbf{y}}^T({\mathbf{C}}^T\mathbf{A}\mathbf{C})\mathbf{y}=k_1{y}_1^2+k_2{y}_2^2+\cdots +k_r{y}_r^2(k_i\ne 0)，$

及 $f={\mathbf{z}}^T({\mathbf{P}}^T\mathbf{A}\mathbf{P})\mathbf{z}={\lambda }_1{z}_1^2+{\lambda }_2{z}_2^2+\cdots +{\lambda }_r{z}_r^2({\lambda }_i\ne 0)，$

则 $k_1,k_2,\cdots ,k_r$ 中正数的个数与 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_r$ 中正数的个数相等。这个定理称为惯性定理。