一、线性方程组的概念

1. 非齐次线性方程组

$n$ 个未知量、$m$ 个方程组成的方程组

$$\begin{array}{rlr}& \{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m,\end{array}& (2.1)\end{array}$$

称为非齐次线性方程组，$(2.1)$ 式称为非齐次性方程组的一般形式，其中右端常数项 $b_1,b_2,\cdots ,b_m$ 不全为零。

(1) 矩阵形式

方程组 $(2.1)$ 的矩阵形式为

$$\begin{array}{rlr}& {\mathbf{A}}_{\mathbf{m}\times \mathbf{n}}\mathbf{x}=\mathbf{b}& (2.2)\end{array}$$

其中 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$ 称为系数矩阵，

$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$ 称为未知数向量，

$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right]$ 称为常数项向量，

$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& b_m\end{array}\right]$ 称为增广矩阵，可记 $\mathbf{B}=(\mathbf{A}⋮\mathbf{b})$，或 $\mathbf{B}=(\mathbf{A},\mathbf{b})$。

方程 $(2.2)$ 以向量为未知元，其解称为方程组 $(2.1)$ 的解向量。

(2) 向量形式

把系数矩阵 $\mathbf{A}$ 按列分成 $n$ 块，则方程 $(2.2)$ 可写成

$$({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\mathbf{b}$$

即

$$\begin{array}{rlr}& x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n=\mathbf{b}& (2.3)\end{array}$$

$(2.3)$ 就是方程组 $(2.1)$ 的向量表示形式。

如果把系数矩阵 $\mathbf{A}$ 按行分成 $m$ 块，则方程 $(2.2)$ 可写成

$$\begin{array}{rlr}& \left[\begin{array}{c}{\mathbf{\alpha }}_1^T\\ {\mathbf{\alpha }}_2^T\\ ⋮\\ {\mathbf{\alpha }}_m^T\end{array}\right]\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right]\mathrm{或}\{\begin{array}{l}{\mathbf{\alpha }}_1^T\mathbf{x}=b_1,\\ {\mathbf{\alpha }}_2^T\mathbf{x}=b_2,\\ \cdots \\ {\mathbf{\alpha }}_m^T\mathbf{x}=b_m,\end{array}& (2.4)\end{array}$$

2. 齐次线性方程组

方程组 $(2.1)$ 中，如果 $b_1=b_2=\cdots =b_m=0$，则称方程组

$$\begin{array}{rlr}& \{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0,\\ \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=0,\end{array}& (2.5)\end{array}$$

称为方程组 $(2.1)$ 对应的齐次线性方程组，也称为 $(2.1)$ 的导出组，称为齐次线性方程组的一般形式。

其矩阵形式为

$$\begin{array}{rlr}& \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}& (2.6)\end{array}$$

向量形式为

$$\begin{array}{rlr}& x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n=\mathbf{0}& (2.7)\end{array}$$

也可以表示为

$$\begin{array}{rlr}& \{\begin{array}{l}{\mathbf{\alpha }}_1^T\mathbf{x}=0,\\ {\mathbf{\alpha }}_2^T\mathbf{x}=0,\\ \cdots \\ {\mathbf{\alpha }}_m^T\mathbf{x}=0,\end{array}& (2.8)\end{array}$$