三、齐次线性方程组

1. 有非零解的判定

(1) 齐次线性方程组 ${\mathbf{A}}_{m\times n}\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 有非零解 $\iff$ $R(\mathbf{A})=r<n$，特别 ${\mathbf{A}}_{m\times n}\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 有非零解 $\iff$ $R(\mathbf{A})=r<n$ $\iff$ $|\mathbf{A}|=0$。

(2) 如果 $m<n$（即方程的个数小于未知数的个数），则齐次线性方程组 ${\mathbf{A}}_{m\times n}\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 一定有非零解。

2. 解的性质

设齐次线性方程组为

$$\begin{array}{rlr}& {\mathbf{A}}_{m\times n}\mathbf{x}=\mathbf{0},& (2.11)\end{array}$$

如果 $\mathbf{x}={\mathbf{\xi }}_1$，$\mathbf{x}={\mathbf{\xi }}_2$ 为 $(2.11)$ 的解，则 $\mathbf{x}=k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_1$，$k_1$，$k_2$为实数，也是 $(2.11)$ 的解。

3. 基础解系

(1) 定义

设 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_s$，是 ${\mathbf{A}}_{m\times n}\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的解向量，若满足

① ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_s$ 线性无关；

② ${\mathbf{A}}_{m\times n}\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的任一解向量都能由 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_s$ 线性表出，则称 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_s$ 是 ${\mathbf{A}}_{m\times n}\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系。

(2) 基础解系的存在性

如果齐次线性方程组 ${\mathbf{A}}_{m\times n}\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 有非零解，则其基础解系一定存在，且基础解系中所含向量的个数为 $n-r$，其中 $r=R({\mathbf{A}}_{m\times n})$。